恒成立問題的處理方略

利用分離參數、構造函數、最值法是求解恒成立問題常見的求解方法，該類試題難度較大，求解過程復雜.這需要學生理清解題思路，掌握解題技巧，進而對學生的邏輯推理和數學運算素養進行檢測，對考生對含參問題分類討論的基本功進行檢驗，

1分離參數法

例1 已知函數 f(x)=ax-e^x(a∈R)，g(x)=

（1）求函數 f(x) 的單調區間；

（2）若 ?x₀∈(0，+∞) ，使不等式 f(x)? g(x)-e^x 成立，求 a 的取值范圍.

解析 (1)f^′(x)=a-e^x，x∈R. （204號

當 α?0 時， f^′(x)<0，f(x) 在 上單調遞減；

當 a>0 時，令 f^′(x)=0 得 ：

由 f^′(x)>0 得 f(x) 的單調遞增區間為 ;

由 f^′(x)<0 得 f(x) 的單調遞減區間為 (lna ，+∞) ：

綜上所述，當 a?0 時，函數 f(x) 的單調遞減區間為

當 a>0 時，函數 f(x) 的單調遞增區間為 ，單調遞減區間為 (2）因為 J_x0∈(0，+∞) ，使不等式 f(x)?g(x)-e^x 成立，所以 ，即 設 則問題轉化為 a?h(x)_max

令 h^′(x)=0 ，得

當 x 在區間 (0，+∞) 內變化時， h^′(x)，h(x) 的變化情況如表1.

由上表可知，當 時，函數 h(x) 有極大值，也是最大值，為 0

所以 即 a 的取值范圍是

解題策略 （1）含參數的能成立(存在型)問題的解題方法

①a?f(x) 在 上能成立，則 α? f(x)_min ;

②a?f(x) 在 上能成立，則 a? f(x)_max ：

（2）含全稱量詞、存在量詞不等式能成立問題

① 存在 x₁∈A ，對任意 使 f(x₁)? g(x_τ2) 成立，則 f(x)_max?g(x)_max ;

② 任意 x₁∈A ，存在 ，使 f(x₁)? g(x_τ2) 成立，則 f(x)_min?g(x)_min ：

2 構造函數法

例2（2022陜西教學質量檢測）設函數 f(x)=

（1）若曲線 y=f(x) 在點 Ψ(e，f(e) ）處的切線與直線 x-2=0 垂直，求 f(x) 的單調性和極小值（其中e為自然對數的底數）；

（2）若對任意的 x₁>x₂>0，f(x₁)-f(x₂)< x₁-x₂ 恒成立，求 k 的取值范圍.

解析（1）由條件得 因為曲線 y=f(x) 在點 (e，f(e)) 處的切線與

直線 x-2=0 垂直，所 f^′(e)=0 ，即 ，得 k=e ，所以 由 f^′(x)<0 得 0′(x)>0 得 x>e 所以 f(x) 在(O，e)上單調遞減，在 (e，+∞) 上

單調遞增.當 x=e 時， f(x) 取得極小值，且

所以 f(x) 的極小值為2.（2）由題意知，對任意的 x₁>x₂>0，f(x₁)-

x₁2)-x₂ 恒成立， 則 h(x) 在 (0，+∞) 上單調遞減，所以 在 (0，+∞) 上恒

成立，即當 x>0 時，

恒成立，所以 故 k 的取值范圍是

解題策略在處理形如 f(x)?g(x) 的不等式恒成立問題時，一種常用的方法是構造差函數.具體來說，可以定義函數 h(x)=f(x)-g(x) （即左減右)或 u(x)=g(x)-f(x) (即右減左).這樣只需確保 h(x)_min?0 或 u(x)_max?0 .這種方法將比較的概念轉化為函數最值問題，適用范圍較廣，但通常需要對參數進行分類討論.

3 最值分析法

例3（2023湖北武漢月考）已知 f(x)=

（1）討論函數 f(x) 的單調性；

（2)若?x∈(0，+∞）， 2f(x)?g^′(x)+2 恒成立，求實數 a 的取值范圍.

解析（1）因為函數 的定義域是(0，+∞) ，

所以 令 f^′(x)<0 ，得 lnx+1<0 ，解得

所以 f(x) 的單調遞減區間是 令 f^′(x)>0 ，得 lnx+1>0 ，解得 所以 f(x) 的單調遞增區間是 綜上， f(x) 的單調遞減區間是 單調遞

增區間是 (2）因為 g^′(x)=3x²+2ax-1，2f(x)?

g^′(x)+2 恒成立，所以 恒成立.因為 x>0 ，所以 在 x∈(0，+∞) 上

恒成立.設 則 令 h^′(x)=0 ，得 （舍去）.當 x 變化時， h^′(x)，h(x) 的變化情況如表2.

所以當 x=1 時，函數 h(x) 取得極大值，也即函數 h(x) 的最大值，且 h(x)_max=h(1)=-2 故 a ?h(x) 在 x∈(0，+∞) 上恒成立，即 a?h(x)_max =-2 ，所以有實數 a 的取值范圍是[ -2，+∞) ：

解題策略 設 f(x) 的定義域為 D ·

(1)若 ?x∈D ，均有 f(x)?C （其中 c 為常數)，則 f(x)_max?C .

(2)若 ?x∈D ，均有 f(x)?C （其中 c 為常數)，則 ·

參考文獻：

[1]劉衛東.一類不等式恒成立問題的錯誤解法[J].數學通訊，2008(13):27—28.