圓錐曲線(xiàn)中弦長(zhǎng)問(wèn)題的分類(lèi)與解題思路

1 已知方程求弦長(zhǎng)

已知圓錐曲線(xiàn)中曲線(xiàn)的具體方程求相交弦長(zhǎng)的具體值或范圍問(wèn)題十分常見(jiàn)，需要聯(lián)合已知的直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)方程，消元得到一元二次方程后運(yùn)用韋達(dá)定理求解.也可以考慮運(yùn)用更簡(jiǎn)單便捷的表達(dá)方式，如等面積求底和高對(duì)相關(guān)弦長(zhǎng)進(jìn)行表示并運(yùn)算求解.

例1已知圓 C：x²+y²=4 ，點(diǎn) P 為直線(xiàn) x+ （204號(hào) y-4=0 上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 向圓 c 引兩條切線(xiàn) PA ，PB，A，B 為切點(diǎn)，則線(xiàn)段AB長(zhǎng)度的最小值為

（204號(hào) ： ： （C）4. 解如圖1所示，易知 |PA|=|PB| ，AB⊥PC .

則四邊形PACB的面積為： 化簡(jiǎn)可得 在 RtΔPAC 中， 可知

要使線(xiàn)段 AB 長(zhǎng)度最小，需要使 PC 長(zhǎng)度最小，∣PC∣ 是圓心到直線(xiàn) l：x+y-4=0 上任意點(diǎn)的距離，

故當(dāng)且僅當(dāng) PC⊥l 時(shí)，即 ∣PC∣ 為圓心 C 到直線(xiàn) l：x+y-4=0 的距離時(shí)， ∣AB∣ 最小，

此時(shí)

正確答案為（A）.

例2已知F是雙曲線(xiàn)C：x2-2 的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) F 的直線(xiàn)與 C 交于 ^A，B 兩點(diǎn)（點(diǎn) ^A，B 在 C 的同一支上），且 |BF|=2|AF| ，則 |AB|=

解由曲線(xiàn)C；x2-2 ，可知 F（-2，0） ，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，設(shè)過(guò)點(diǎn) F 的直線(xiàn)為：

x=my-2（mgt;0） 0

聯(lián)立

可得 （3m²-1）y²-12my+9=0 設(shè) A（x₁，y₁） ， B（x₂，y₂） ，

0

由 ∣BF∣=2∣AF∣ ，則有 ，

又BF=（-2-χ2，-y2），

，所以 -y₂=2y₁② ，聯(lián)立 ① 式可得

則有 解得 或 （舍），

所以

所以

2 已知弦長(zhǎng)求方程

已知弦長(zhǎng)求直線(xiàn)或圓錐曲線(xiàn)的具體方程也同樣是常見(jiàn)的一類(lèi)提問(wèn)方式，要求學(xué)生能根據(jù)已知的弦長(zhǎng)逆向思考求出未知的方程式.求解這類(lèi)問(wèn)題需要結(jié)合弦長(zhǎng)特點(diǎn)，列出與未知參數(shù)有關(guān)的方程式并解答，還需要驗(yàn)證所求值是不是唯一符合題意的答案.

例3 已知雙曲線(xiàn)C： ，過(guò)點(diǎn)P（1，8） 的直線(xiàn) ξ_l 與 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)，且 P 為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則直線(xiàn) ξ_l 的方程為

解 設(shè) A（x₁，y₁） ， B（x₂，y₂） ，則有

兩式相減可得 即 x-x2=4，

所以 因?yàn)辄c(diǎn) P 是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，

所以 x₁+x₂=2，y₁+y₂=16 ，所以

由點(diǎn)斜式方程可得直線(xiàn) ξ_l 的方程式為： y-8= ，即 x-2y+15=0 ，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故直線(xiàn) ξ_l 的方程為 x-2y+15=0

例4如圖3，設(shè)拋物線(xiàn) C：y²=2px（?gt;0） 的焦點(diǎn)為 F ，點(diǎn) M 在拋物線(xiàn) C 上， ，若 y 軸上存在點(diǎn) A（0，2） ，使得 ，則 p 的值可以是

解由題意可得AM ，則以 MF 為直徑的圓過(guò)點(diǎn)（0，2）， ，設(shè)點(diǎn) M（x，y） ，由拋物線(xiàn)定義可知 ，可得 ，因?yàn)閳A心是 MF 的中點(diǎn)，所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，圓心橫坐標(biāo)為 ，由已知可得圓的半徑為 ，由此可知該圓與 軸相切于點(diǎn) A（0，2） ，故圓心縱坐標(biāo)為^2，M 點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，即點(diǎn) ，代人拋物線(xiàn)方程得 p²-10p+16=0 ，解得 p=2 或 ?=8

3結(jié)語(yǔ)

上述分別對(duì)已知弦長(zhǎng)求具體方程或已知方程式求弦長(zhǎng)兩類(lèi)問(wèn)題做出具體的分類(lèi)與分析.其中弦長(zhǎng)的求解需要靈活運(yùn)用韋達(dá)定理，方程式的求解則需要逆向思維的靈活運(yùn)用.這些求解的思路與題型分類(lèi)，都是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中需要理解和掌握的內(nèi)容.

參考文獻(xiàn)：

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[2]劉汝浩.求解圓錐曲線(xiàn)中的兩類(lèi)弦長(zhǎng)問(wèn)題[J].中學(xué)生數(shù)理化（高二高三版），2019（4）：31.