高中數(shù)學(xué)函數(shù)相關(guān)習(xí)題的解題分析

高中數(shù)學(xué)題目紛繁復(fù)雜、變化多樣，具有多種不同的呈現(xiàn)方式，對(duì)解題要求較高.在解題過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)精準(zhǔn)梳理題目中的相關(guān)要素，保持較強(qiáng)的邏輯判斷能力，加強(qiáng)對(duì)題干的分析，運(yùn)用正確的解答方法，提升解題效率.

1高中函數(shù)相關(guān)習(xí)題的解題思路

在高中函數(shù)相關(guān)習(xí)題解題過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)深人理解函數(shù)概念，在此基礎(chǔ)上完成對(duì)函數(shù)相關(guān)習(xí)題的解答.為此需對(duì)函數(shù)的定義有清晰的認(rèn)識(shí)，即對(duì)于每一個(gè)自變量 x ，均有唯一的因變量 與之對(duì)應(yīng).這是解題的基礎(chǔ)，有助于判斷一個(gè)關(guān)系式是否構(gòu)成函數(shù).對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行整合，形成系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識(shí)體系，了解函數(shù)的分類，包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，以便在解題時(shí)能快速識(shí)別并運(yùn)用相應(yīng)的性質(zhì).要全面掌握函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的性質(zhì)包括奇偶性、單調(diào)性、周期性等.在解題過(guò)程中，要結(jié)合題目中的實(shí)際情況，對(duì)題目條件進(jìn)行拆解，結(jié)合所學(xué)的函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，深化題目解答.利用奇偶性可以簡(jiǎn)化計(jì)算，利用單調(diào)性可以判斷函數(shù)值的大小關(guān)系，利用周期性可以找出函數(shù)的重復(fù)規(guī)律.利用導(dǎo)數(shù)、微分等工具研究函數(shù)的性質(zhì)，強(qiáng)化對(duì)函數(shù)性質(zhì)的全面理解與運(yùn)用.

函數(shù)圖象是函數(shù)性質(zhì)的直觀表現(xiàn)，在復(fù)雜函數(shù)解題過(guò)程中，利用函數(shù)圖象有助于提高解題效率.結(jié)合題目給定的條件，繪制函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象的特征，判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、零點(diǎn)等.利用圖象解決求最值、交點(diǎn)等一些實(shí)際問(wèn)題.為了更好地分析函數(shù)圖象，可運(yùn)用平移、縮放等常見的圖象變換方法，實(shí)現(xiàn)函數(shù)題目的順利解答.在解題過(guò)程中，要熟練掌握并運(yùn)用求導(dǎo)公式、積分公式、泰勒公式等各種函數(shù)公式和定理，這些公式和定理是解決函數(shù)問(wèn)題的有力工具，能夠使得解題效率事半功倍.

2分段函數(shù)的求解分析

在求解分段函數(shù)導(dǎo)數(shù)時(shí)，確定分段點(diǎn)，分別計(jì)算左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值，求得分段函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的導(dǎo)數(shù)值.畫出函數(shù)的圖象可以直觀地理解函數(shù)的變化趨勢(shì)和性質(zhì).通過(guò)圖象能夠判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，從而更好地求解分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù).判斷函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值，通過(guò)求解函數(shù)的極值找到函數(shù)的拐點(diǎn)等.因此，靈活運(yùn)用單調(diào)性、極值等性質(zhì)，有助于求解分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù).在求解分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，根據(jù)實(shí)際情況判斷函數(shù)的最值點(diǎn).如果函數(shù)在某一點(diǎn)處取得極值，那么該點(diǎn)可能是函數(shù)的最值點(diǎn).函數(shù)的單調(diào)性也是判斷函數(shù)最值的重要依據(jù)[1].

（204例1求解函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).

在求解該題目時(shí)，理解題目所給的信息，包括題目中的已知條件、未知數(shù)與要求的結(jié)果，明確問(wèn)題的背景與相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，確保對(duì)問(wèn)題的含義有清晰的認(rèn)識(shí).仔細(xì)閱讀題目，確定問(wèn)題的類型與結(jié)構(gòu)，找出題目中的關(guān)鍵詞和語(yǔ)句，以便更好地理解問(wèn)題的本質(zhì).根據(jù)問(wèn)題的類型和結(jié)構(gòu)，選擇合適的解題方法.對(duì)于代數(shù)問(wèn)題，進(jìn)行方程求解或函數(shù)分析，合理運(yùn)用相關(guān)公理、定理或推論等.

分析當(dāng) x=0 時(shí)，由于 f^′(0) 存在，因此結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義得出 f^′(0) ，當(dāng) x≠0 時(shí)， f(x) 關(guān)系式為初等函數(shù) ，之后再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法同求導(dǎo)數(shù).

解當(dāng) x=0 時(shí)， 當(dāng) x≠0 時(shí)，

小結(jié)若函數(shù) g(x) 在點(diǎn) x₀ 連續(xù)，則得出 ，若在解題時(shí)難以精準(zhǔn)判斷 f(x) 的導(dǎo)數(shù) f^′(x) 是否在點(diǎn) x_?0=0 連續(xù)，則推導(dǎo)不出

3復(fù)合函數(shù)相關(guān)題目的解題分析

求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，在解題過(guò)程中，要求熟練掌握基本概念、求導(dǎo)法則與解題方法.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)遵循求導(dǎo)法則，即鏈?zhǔn)椒▌t與乘積法則.鏈?zhǔn)椒▌t是對(duì)復(fù)合函數(shù)中的外層函數(shù)關(guān)于中間變量求導(dǎo)，然后與中間變量的導(dǎo)數(shù)相乘.乘積法對(duì)復(fù)合函數(shù)中的中間變量和外層函數(shù)分別求導(dǎo)再相乘.轉(zhuǎn)化思想將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，通過(guò)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題求解復(fù)雜問(wèn)題[2].

在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，將復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的函數(shù)，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程.換元思想是通過(guò)引入新的變量替換原來(lái)的變量，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題.在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，使用換元思想簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程.常見函數(shù)的求導(dǎo)公式包括常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等的求導(dǎo)公式，此類函數(shù)的求導(dǎo)公式可以直接應(yīng)用于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算中.確定了解題策略后，根據(jù)策略進(jìn)行具體的計(jì)算.在這個(gè)過(guò)程中，要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性與細(xì)節(jié)，以免出現(xiàn)錯(cuò)誤.在計(jì)算完成后，根據(jù)計(jì)算結(jié)果整合答案，注意答案的完整性與準(zhǔn)確性，確保答案符合題目的要求[].

例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(其中 f(x) 是可導(dǎo)函數(shù)）：

（204號(hào)

分析對(duì)題目進(jìn)行分析，題目中的兩個(gè)函數(shù)均為抽象函數(shù).通過(guò)形式分析，把握該函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法則進(jìn)行求解.求解過(guò)程中，先得出中間變量，進(jìn)而運(yùn)用復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算.若中間變量對(duì)所設(shè)變量求導(dǎo)，則無(wú)需再次假設(shè)，若中間變量可直接求導(dǎo)，則無(wú)需再選中間變量.

解 (1）解法1

若

則

解法2

（2）解法1

設(shè) 則

解法2

小結(jié) 在解題過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)詳細(xì)把握題目中涉及的相關(guān)概念，加強(qiáng)對(duì)抽象函數(shù)概念的全面認(rèn)知，實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)合關(guān)系的精準(zhǔn)判斷，將中間變量因素引入其中進(jìn)行分析.在該題目解答中，應(yīng)當(dāng)有效把握 f^′(φ(x)) 與[f(φ(x))]^′ 兩者之間的區(qū)別， f^′(φ(x)) 為對(duì)中間變量 φ(x) 的求導(dǎo)， [f(φ(x))]^′ 為對(duì)自變量 x 的求導(dǎo).

4函數(shù)單調(diào)性相關(guān)題目的解題分析

函數(shù)單調(diào)性是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，也是解題過(guò)程中常用的工具.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，單調(diào)性可以通過(guò)求導(dǎo)進(jìn)行判斷.導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率，當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)處單調(diào)遞增；當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)處單調(diào)遞減.因此，求導(dǎo)并分析導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵步驟.高次函數(shù)性質(zhì)的判斷往往運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析函數(shù)的圖象特征，綜合之后，得出函數(shù)的極值或最值.首先，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù).假設(shè)函數(shù)為 f(x) ，則 f^′(x) 為函數(shù)的導(dǎo)數(shù).如果 f^′(x)=0 ，說(shuō)明函數(shù)在這一點(diǎn)處取得極值；如果 f^′(x)>0 ，說(shuō)明函數(shù)在這一點(diǎn)處單調(diào)遞增；如果 f^′(x)<0 ，說(shuō)明函數(shù)在這一點(diǎn)處單調(diào)遞減.因此，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的極值或最值.高次函數(shù)的極值或最值可能不止一個(gè)，利用函數(shù)單調(diào)性分析函數(shù)的圖象特征，綜合之后，得出函數(shù)的極值或最值.

例3現(xiàn)有函數(shù) f(x)=-x²+ax g(x)= x³ ，方程 f(x)=0 的一個(gè)根為6.（1）求函數(shù) g(x) 與 f(x) 的圖象在第一象限內(nèi)交點(diǎn) A 的坐標(biāo)；(2）如果直線 x=t(0tΨ_Ψ 的取值；（3）若函數(shù) f(x) 圖象在點(diǎn) M 處的切線是 l₁ .g(x) 的圖象在點(diǎn) N 處的切線是 l₂ ，如果 l₁…l₂ 和 x 軸的交點(diǎn)是點(diǎn) P 、點(diǎn) Q ，求 P，Q 兩點(diǎn)之間距離的取值范圍.

解析 (1)方程 f(x)=0 為 -x²+ax=0 ，有一個(gè)根6，得出 a=6 ，那么 f(x)=-x²+6x ：結(jié)合 有 x³=-x²+6x ，解得 x=0，2 或 -3 當(dāng) x=2 時(shí)，有 y=8 ，因此函數(shù) f(x) 與 g(x) 的圖象在第一象限內(nèi)交點(diǎn) A 坐標(biāo)為(2，8).

（2）線段 MN 長(zhǎng)度為 ∣MN∣=(-t²+6t)-t³= -t³-t²+6t ，若 h(t)=-t³-t²+6t ，那么 h^′(t)=-3t² （20-2t+6，作h'(t)=0，有t= ，結(jié)合 0 時(shí) ，h^′(t)> 時(shí) σh^′(t)<0 ，因此當(dāng) t= 時(shí)，函數(shù) h(t) 為最大值．因此當(dāng) t= 時(shí)，線段 MN 長(zhǎng)度最大.

(3）結(jié)合 M(t，-t²+6t)，f^′(x)=-2x+6 ，因此函數(shù) f(x) 圖象在點(diǎn) M 處的切線 l₁ 的斜率是-2t+6 ，得出 l₁ 的方程是 y-(-t²+6t)=(-2t+ 6)(x-t) ，作 y=0 ，有 2t-6；得出 N(t，t³)，g^′(x)=3x² ，因此 l₂ 的方程是 y-t³= 3t²(x-t) ，作 y=0 有 因此 由于 0 ，所以 P，Q 兩點(diǎn)之間距離的取值范圍為

5結(jié)語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)對(duì)題干中的相關(guān)信息進(jìn)行分析與判斷，巧用解題方法，加強(qiáng)思維鍛煉，正確發(fā)揮題目中的相關(guān)要素的作用，理順?biāo)悸罚樌忸}.

參考文獻(xiàn)：

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