求解離心率的常用方法分析

離心率是橢圓、雙曲線的基礎(chǔ)性質(zhì)，是考試中常見(jiàn)的與圓錐曲線相關(guān)的考點(diǎn).其中，橢圓的離心率 01 ，在考試中常出現(xiàn)在選擇題、填空題及解答題第一問(wèn)中，難度一般不大.熟練掌握解答離心率問(wèn)題的常用方法，可以提高解題效率.本文結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，對(duì)常用解題方法進(jìn)行分析.

1公式法

圓錐曲線離心率公式是 ，因此在實(shí)際解題中，要根據(jù)題目信息向公式靠攏，并靈活運(yùn)用參數(shù)_a，b，c 之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)參數(shù)間的轉(zhuǎn)化，如橢圓中a²=b²+c² ，雙曲線中 α²=c²-b² ：

例1 橢圓 C₁ 和雙曲線 C₂ ： 焦點(diǎn)相同，則 C₁ 的離 ∴ 率 e 的取值范圍是（ ）

解析 因?yàn)闄E圓

則有 a₁²=m+2，b₁²=-n ，

c₁²=m+2+n ，

即 （204號(hào)因?yàn)殡p曲線 C₂

所以 a₂²=m，b₂²=-n ，

（204號(hào) c₂²=m-n，

由題意可知 m+2+n=m-n ，所以 n=-1 ，

所以

因?yàn)?m>0，m+2>2 ，

所以

中 ，

所以

可得

因?yàn)?01<1 ，

所以

故正確答案為(B).

點(diǎn)評(píng)解答本題時(shí)主要借助了橢圓中 a²=b²+ c² ，雙曲線中 α²=c²-b² 的關(guān)系；解題時(shí)首先確定各參數(shù)的值，然后借助參數(shù)間的關(guān)系及 ，可得 e₁，e₂ 及 ^m，n 的取值范圍，則可得 e 的取值范圍

2 坐標(biāo)法

坐標(biāo)法是根據(jù)已知條件，在坐標(biāo)系中，將其轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)點(diǎn)，然后借助坐標(biāo)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行問(wèn)題解答.在實(shí)際的解題中，學(xué)生可以將圓錐曲線置于直角坐標(biāo)系 xOy 中，然后根據(jù)已知的信息，利用坐標(biāo)之間的關(guān)系，求解圓錐曲線中的參數(shù) _a，b，c ，進(jìn)而求解離心率.

例2在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中， F 是橢圓 的右焦點(diǎn)，直線 與橢圓交于點(diǎn) ^B，C ，且 ∠BFC=90^° ，求橢圓的離心率是（ ）

解析 將橢圓 與直線 聯(lián)立，可得：

F 為橢圓 的右焦點(diǎn)，則 F(c，0) 根據(jù) ∠BFC=90^°

所以 · ，

進(jìn)而可得

=

則正確答案為(D).

點(diǎn)評(píng) 在解答本題時(shí)，將橢圓 與直線 聯(lián)立可得 ?B，C 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為 ，結(jié)合 F(c，0) 及 ∠BFC=90^° ，可得 · 的關(guān)系，解答可得 ^a，b，c 的值，進(jìn)而可得

3不等式法

求離心率的取值范圍是關(guān)于離心率問(wèn)題的一類(lèi)常見(jiàn)考查方法.在面對(duì)這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生常常需要結(jié)合題目信息，靈活構(gòu)造出關(guān)于參數(shù)或是離心率的不等式，進(jìn)而解答問(wèn)題.常見(jiàn)的構(gòu)造方法有利用圖形幾何量構(gòu)建不等式、利用判別式構(gòu)建不等式、利用已知條件構(gòu)建不等式等，在實(shí)際的解題中，學(xué)生還需結(jié)合題目靈活選擇.

例3橢圓 c 的右焦點(diǎn)為 F ，上頂點(diǎn)為 B ，直線 l:x-y=0 與橢圓 c 交于M，N ，滿足 ∣ME∣+∣NF∣=4 ，且點(diǎn) B 距 ξ_l 的距離不小 則離 ∴ 率的取值范圍為（ ）

解析 設(shè) E 為橢圓的左焦點(diǎn)，連接 ME，NE ，

則四邊形NFME為平行四邊形，所以 ∣NE∣+∣NF∣=∣ME∣+∣MF∣=2a=4 所以 a=2 ，由點(diǎn) B 距 ξ_l 的距離不小于 可得 所以 b?1 ，則橢圓的離心率

所以 ：故正確答案為(A).點(diǎn)評(píng)解答本題的關(guān)鍵在于借助左焦點(diǎn) E ，作平行四邊形NFME，將條件 ∣ME∣+∣NF∣=4 轉(zhuǎn)化為 ∣NE∣+∣NF∣=∣ME∣+∣MF∣=2a=4. 而

后根據(jù)點(diǎn)B距l(xiāng)的距離不小于， ，得到關(guān)于 b 的不

等式，進(jìn)而結(jié)合 ，得到 =

4結(jié)語(yǔ)

綜上所述，離心率是高考中圓錐曲線問(wèn)題中常見(jiàn)的一個(gè)考點(diǎn)，當(dāng)熟練掌握相關(guān)解題方法后，會(huì)發(fā)現(xiàn)解答過(guò)程并不復(fù)雜.在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生還應(yīng)積極總結(jié)，以期提高自身解題效率.

參考文獻(xiàn)：

[1]陸彩霞.例析高中數(shù)學(xué)圓錐曲線離心率的計(jì)算方法與技巧[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2023(12)：3-5.

[2]肖毅.解答圓錐曲線離心率問(wèn)題常用的方法分析[J].數(shù)理天地（高中版），2024(3)：40一41.