一道經典圓錐曲線大題的解題歷程

高中數學大題解題步驟復雜，要求對題目中的已知條件進行梳理，精準運用所學數學課程知識，得出正確的解題答案[1-2].本文講解一道典型的圓錐曲線題目，展示解題的整個過程.對該題目進行一題多解，用不同的方法進行解題探索，對圓錐曲線相關習題的解答具有一定的參考價值.

例題 已知動點 M 與兩個定點 O（0，0） ，A（3，0）的距離的比為 ，動點M的軌跡為曲線C.

（1）求解 c 的軌跡方程，并說明其形狀；

（2）若過直線 x=3 上的動點 P（3，p）（p≠0） 分別作 c 的兩條切線 PQ，PR（Q，R 為切點）， N 為弦 QR 的中點，直線 3x+4y=6 分別與 x 軸 ??y 軸交于點 E，F ，求解 ΔNEF 的面積 s 的取值范圍.

解（1）設 M（x，y） ，由 得 （2 中化簡有 x²+y²+2x-3=0 0即 （x+1）²+y²=4. 因此，曲線 c 是以 （-1，0） 為圓心，半徑為2的圓.（2）求 ^Q，R 均滿足的同一直線方程即切點弦方程，設 D（-1，0），Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂）. 結合 DQ⊥PQ ，得出 Q 處的切線上任一點T（x，y） 滿足 （如圖1），

得出切線 PQ 方程是：（x-x₁）（x₁+1）+（y-y₁）（y₁-0）=0.

整理，有 （x₁+1）x+y₁y-x₁²-y₁²-x₁=0. 結合 x₁²+y₁²+2x₁-3=0 ，得 （x₁+1）x+y₁y+x₁-3=0. 同理，得 R 處的切線 PR 方程：（x₂+1）x+y₂y+x₂-3=0. 同時 P（3，P） 既在切線 PQ 上，又在切線

PR 上，因此，得出： 整理即： 可見 Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂） 均滿足直線 4x+

py=0 的方程.而兩點確定一條直線，因此切點弦 QR 所在直

線的方程為 4x+py=0 得出QR恒過坐標原點 O（0，0） ·結合 消去 x 整理得 （16+p²）y²-8py-48=0 又 Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂） ，

所以點N的縱坐標y=y+y2 1因為 ?≠0 ，顯然 y_N≠0 ，得出點 N 與點 D（-1，0），O（0，0） 均不重合.（或者結合對稱性可知， QR 的中點 N 點在 x 軸上，當且僅當點 P 在 x 軸上，因為 ?≠0 ，點 P 不在x 軸上，則點 N 也不在 x 軸上，所以點 N 與 _D，O 均不重合.）

結合 N 為弦 QR 的中點，同時 D（-1，0） 為圓心.

并結合圓的性質，得出DN」 QR ，即DN ⊥ ON ，如圖2.

因此點 N 在以 OD 為直徑的圓上，圓心為 ，半徑

得出直線 3x+4y=6 分別與 x 軸、 .y 軸交于點E，F ，

因此，有 E（2，0） ？

圓心 到直線 3x+4y-6=0 距離

設 ΔNEF 的邊 EF 上的高為 h ，則點 N 到直線 3x+4y=6 的距離 h 的最小值為

點 N 到直線 3x+4y=6 的距離 h 的最大值為 （如圖3）.

則S的最小值Smin 0

最大值 ：

因此， ΔNEF 的面積 s 的取值范圍是

結語

通過以上步驟，解答出了這道圓錐曲線的大題，復習了橢圓的基本性質與相關計算方法.以上解題過程有助于學生加深對圓錐曲線概念的理解，提高解決實際問題的能力.因此，在高中數學解題過程中，應把握題干中的相關要求，理順解題思路，提升解題效率[3].

參考文獻：

[1]周祝光.深度體驗視域下高中數學探究式課堂教學評價維度探析[J].中國教育學刊 ?2021（S2）：77-82

[2]張友明，羅超良.高中數學課程思政教學效果評價指標體系構建[J].中國教育技術裝備 ，2024（9）：70-72+78

[3]李現勇.在數學知識的應用中提升學生的數學建模素養—以“生活中的三角函數”數學建模課為例[J.數學建模及其應用，2022，11（4）：101—106.