依托零點場景，確定參數(shù)技法

依托函數(shù)零點的場景創(chuàng)設(shè)，借此求解參數(shù)值或參數(shù)的取值范圍等，是函數(shù)與方程模塊知識中比較常見的一類基本考查方式.理解并掌握函數(shù)的零點存在性定理，在此基礎(chǔ)上，掌握一些與之相關(guān)的技巧方法，對問題的解決與優(yōu)化起著至關(guān)重要的作用.本文通過歸納總結(jié)，結(jié)合實例，就函數(shù)零點的場景創(chuàng)設(shè)條件下的有關(guān)參數(shù)值或參數(shù)的取值范圍的求解技巧方法加以剖析，以期拋磚引玉.

1直接法

依托問題的應(yīng)用場景，直接利用函數(shù)的零點存在性定理，構(gòu)建相應(yīng)的不等式（組）來確定對應(yīng)參數(shù)的取值范圍.

例1（2023—2024學(xué)年江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)星海實驗中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷）若函數(shù)f（x）=2ax²-x-1 在區(qū)間（0，1）內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ）

（A）（-1，1） （B）[1，+∞）. （C）（1，+∞）.（D）（2，+∞）.

分析依題設(shè)條件，對實數(shù) a 的取值情況進(jìn)行分類討論，在二次函數(shù)場景下，直接通過函數(shù)的零點存在性定理和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)來構(gòu)建對應(yīng)的不等式（組），進(jìn)而實現(xiàn)參數(shù)取值范圍的求解.

解析 （1）當(dāng) a=0 時，由 f（x）=-x-1=0 0解得 x=-1 ，此時函數(shù)的零點是 x=-1 ，不在區(qū)間（0，1）內(nèi)，不符合題設(shè)條件，

（2）當(dāng) a≠0 時，此時函數(shù) f（x）=2ax²-x- 1為二次函數(shù)，而 f（0）=-1lt;0 ，要使得函數(shù) f（x）= 2ax²-x-1 在（0，1）內(nèi)恰有一個零點，利用函數(shù)的零點存在性定理和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，可得 f（1）=2a- 2gt;0 ，解得 agt;1

綜上分析，實數(shù) a 的取值范圍是 （1，+∞） .故選擇答案（C）.

點評解決此類函數(shù)關(guān)系式比較簡單的函數(shù)零點存在性問題時，經(jīng)常直接利用參數(shù)的取值情況進(jìn)行合理的分類討論，有效借助函數(shù)零點存在定理的條件 f（a）?f（b）lt;0 或與之相關(guān)的條件來合理構(gòu)建不等式（組），為參數(shù)取值范圍的求解提供條件.

2 分離參數(shù)法

依托問題的應(yīng)用場景，借助關(guān)系式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，將參數(shù)分離出來，借助函數(shù)的構(gòu)建，將問題轉(zhuǎn)化為求解相應(yīng)函數(shù)的值域問題，

例2若函數(shù) f（x）=x⁴-ax²+1 有零點，則 實數(shù) a 的取值范圍是

分析根據(jù)題設(shè)條件，通過函數(shù)有零點，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程有解，合理分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求解對應(yīng)函數(shù)的值域，借助函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，通過基本不等式的放縮處理來確定函數(shù)的值域，進(jìn)而得以求解參數(shù)的取值范圍.

解析依題，由于函數(shù) f（x）=x⁴-ax²+1 有零點，可轉(zhuǎn)化為方程 x⁴-ax²+1=0 有解，分離參數(shù)即方程a=x2+， x≠0有解.

令函數(shù) ，x≠0，利用基本不等式，可得 ，當(dāng)且僅當(dāng) x²= 1，即 x=±1 時等號成立，即此時 g（x）?2 那么要使得方程 x≠0有解，則有a?2 ，即實數(shù) α_a 的取值范圍是 [2，+∞） ，故填答案： [2，+∞） ：

點評在解決一些函數(shù)有零點或方程有解問題時，通過巧妙運用分離參數(shù)法，可將問題進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化，把求解參數(shù)的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為求解對應(yīng)函數(shù)的取值范圍問題.這種轉(zhuǎn)化巧妙，處理合理，是解決此類問題一種比較不錯的方法.

3 數(shù)形結(jié)合法

依托問題的應(yīng)用場景，借助關(guān)系式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)函數(shù)的圖象，通過數(shù)形結(jié)合方法直觀處理并求解問題.

例3（2023—2024學(xué)年湖北省十堰市高一

（上）月考數(shù)學(xué)試卷（1月份））已知函數(shù) f（x）=

若函數(shù) g（x）=[f（x）]²-

2af（x）+a²-1 恰有4個不同的零點，則 a 的取值

范圍是（ ）（A）（-1，0）U（1，2）.（B）（-1，1）?（3，+∞）. （C）（一1，0）U[1，2）.

分析根據(jù)題設(shè)條件，通過求解方程 g（x）=0 得到對應(yīng) f（x） 的表達(dá)式，將 f（x） 看作一個整體，利用該函數(shù)圖象，通過數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)在圖形中進(jìn)行直觀分析與處理，進(jìn)而構(gòu)建對應(yīng)的不等式（組）來求解參數(shù)的取值范圍，

解析令 g（x）=[f（x）]²-2af（x）+a²-1= 0，解得 f（x）=a-1 或 f（x）=a+1

在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù) f（x） 的大致圖象，如圖1所示.

點評數(shù)形結(jié)合法處理涉及函數(shù)的零點問題時，其前提是函數(shù)的圖象往往是比較熟悉的基本初等函數(shù)圖象或與之相關(guān)的分段函數(shù)圖象等，這樣作出大致的函數(shù)圖象，借助數(shù)形結(jié)合與直觀想象來分析與處理，能夠讓問題解決起來更加直觀形象.

4結(jié)語

結(jié)合具體問題場景，巧妙利用函數(shù)的零點存在性定理，理解并掌握函數(shù)零點場景創(chuàng)設(shè)條件下的有關(guān)參數(shù)值或參數(shù)的取值范圍的求解技巧和方法，通過巧妙轉(zhuǎn)化，合理應(yīng)用，這些內(nèi)容成為解決此類問題的基石.依托問題應(yīng)用情境，利用直接法，或分離參數(shù)變形，或數(shù)形結(jié)合直觀，成為問題破解的基本思維方式.熟悉理解并掌握這些方法，能夠提升學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).