巧用向量法求解幾類立體幾何問題

向量法是解答立體幾何問題的重要方法之一，文章就利用向量法求解立體幾何問題展開討論，具體從利用向量判斷（證明）空間中的點、線、面的位置關系，利用向量求空間角的大小或三角函數值等兩個常見方面探究答題策略及應用技巧.

1利用向量判斷（證明）空間中的點、線、面的位置關系

判斷或者證明空間中的點、線、面的位置關系的題型中，常見的是證明平行或垂直，下面以垂直為例展開探究.

例1如圖1所示，三棱錐 P-ABC 中， AB= AC，PO⊥ 平面 ABC ，垂足 O 落在線段 AD 上， D 是BC的中點，已知 AO=3，BC=8，OD=2，PO=4. 若點 M 是線段 AP 上一點，且 AM=3 ，試證明平面AMC ⊥ 平面BMC.

解因為 AB=AC，D 是 BC 的中點，所以 AD ⊥BC .如圖2所示，以 O 為原點，過點 O 作 BC 的平行線為 x 軸，以射線 AD 方向為 y 軸正方向，以射線OP 的方向為 z 軸正方向，建立空間直角坐標系，則

O（0，0，0），A（0，-3，0），B（4，2，0）

C（-4，2，0） ， P（0，0，4） ，所以 ：因為 PO⊥ 平面 _ABC，AOC 平面 ABC ，所以 PO⊥AO 因為 PO=4，AO=3 ，所以 AP=5 ：因為 M 為 AP 上一點，且 AM=3 ，所以 所以 則 所以 設平面BMC 的法向量為 n=（a，b，c） ， （204號則（20上 令 b=1 ，則 所以 設平面AMC 的法向量為 m=（x，y，z） ，

所以 所以 n⊥m ，

所以平面 AMC⊥ 平面BMC.

評注利用向量證明或者判斷線面位置關系的一般步驟：一是恰當建立空間直角坐標系；二是求出需要的點的坐標；三是根據點的坐標求出需要的向量，如線的方向向量，和平面內的兩條相交向量；四是設平面的法向量和求出所設法向量；五是根據向量運算法則判斷結論，若平行，則兩個向量成倍數關系，若垂直，則數量積等于零.

2利用向量求空間角的大小或三角函數值

空間角包括異面直線所成的角、線面角和二面角，以及兩個平面所成角，其解答思路一樣，下面以二面角為例展開討論.

例2如圖3所示，在直角梯形 ABCD 中， .AB //CD，AB⊥BC，AB=BC=2CD=2，E 為 BC 的中點，P 是平面 ABCD 外一點 M是線段PB上一點，三棱錐M-BDE的體積是. 求二面角 M-DE-A 的余弦值.

解以 B 為原點，BA，BC所在直線分別為 x ， 軸，平行于 AP 的直線為 z 軸.建立如圖4所示的空間直角坐標系，則 A（2，0，0） ， B（0，0，0） ，C（0，2，0） ， D（1，2，0） ， E（0，1，0） ， P（2，0，1） ，則 ：

設 號 （0?λ?1） ，有 所以 M（2λ，0，λ） ：

因為三棱錐 M-BDE 的體積是 所以

即 所以得 所以 設平面DEM的法向量 n=（x，y∈） ，由 （2即 令 x=-2 ，則 y=2，z=7 ，所以 n=（-2，2，7） ·根據題目易知： 為平面 ADE 的一個法向量.所以 由圖可知二面角 M-DE-A 是銳二面角，故二面自 角 M-DE-A 的余弦值是

評注利用向量求解空間角問題的基本步驟均是一樣的，一般為：第一步是恰當建立空間直角坐標系；第二步是根據所建立的坐標系求出所需要的點的坐標；第三步是根據得到的點的坐標求出需要的線的方向向量和平面內兩條相交向量；第四步是設平面的法向量，并求出坐標；第五步是利用公式進行求解.

3結語

本文就向量法求解立體幾何中判斷線面位置關系和求空間角兩種常見的題型展開討論，梳理總結思路和答題步驟，以突破利用向量求解立體幾何問題的方法，并掌握其應用技巧.

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