例析高中數學數列通項公式的常見求解方法

1累加法

累加法是求解數列通項公式十分常見的一種方法，具體是通過關系等式結構特點將所有式子相加，在運算過程中相同的項由于符號相反被消去，此時數列的通項公式也能求出.累加法適用于相鄰兩項之差有一定規律的數列通項問題求解，解題思路為：① 根據題意得到等價的 a_n-a_n-1 的表達式，以此類推； ② 將所有等式相加，可得 α_n-α₁ 的表達式并求解； ③ 討論 a_n（n?2） 的通項公式是否對所有情況都適用，從而得到具體答案.

例1數列 {a_n} 中， ?a₁=2，a_n+1=a_n+n+1 ，求數列 {a_n} 的通項公式.

分析可根據題意得到等式 a_n+1-a_n=n+1 此時 a_n 需要各個等式累積相加，中間項會被消去，由于所求通項公式是 n?2 對應的情況，需要確定a₁ 是否符合表達式，從而得到答案.

解因為 a_n+1=a_n+n+1

即 α_n+1-α_n=n+1 ，

所以當 n?2 時， a₂-a₁=2 ，

a₃-a₂=3 ，

α_n-α_n-1=n，

將以上各式相加可得：

a_n-a₁=2+3+…+n， 因為 所以 ，當 n=1 時也符合上式，故數列 {a_n} 的通項公 （20式是

2累乘法

累乘法與累加法有異曲同工之處，即根據數列相鄰兩項之比的關系等式來求解通項公式，通過相乘的方式來消去相同的項，此時剩余的表達式對應數列的通項公式.累乘法適用于一些相鄰兩項比值有聯系的數列問題，具體思路為： ① 根據已知條件得到 的關系等式； ② 將所有等式相乘可得a_n（n?2） 的簡化關系式； ③ 驗證 n=1 對應情況是否成立，確定最終答案.

例2已知數列 {a_n} 滿足 a₁=1 ， （2n-1） ·a_n+1=（2n+1）?a_n ，求數列 {a_n} 的通項公式.

分析由已知等式 （2n-1）? ） a_n+1=（2n+1）a_n 可得a的 的比值關系等式，其次在相乘過程中消去an分子分母相同的項，得到 ∣a∣ 的表達式并驗證，可對問題做出具體解答.

解由 （2n-1）a_n+1=（2n+1）a_n ，以及 a₁= 1，可得 a_n≠0 ， 當 n?2 時

當 n=1 時， a_?1=1 符合上式，所以 a_n=2n-1

3構造法

構造法同樣是解答數列通項公式問題的常見方法，主要是對已知的遞推等式添項或移項使其等價轉化為熟悉的等比或等差數列關系式.構造思路可以多樣化，用待定系數方式或取對數方式等，構造與所求數列相關的等比或等差數列遞推式，可對問題做出解答.具體應用思路為： ① 根據已知遞推式結構特點，構造與其相關的數列關系等； ② 求出構造的數列通項公式，對問題進行解合.

例3已知數列 {a_n} 滿足 a_n+1+2a_n=3 且 a₁=

2，其前 n 項和為 S_n ，則滿足不等式 的最小整數 n 為分析 根據已知遞推式 a_n+1+2a_n=3 可以構造 a_n+1+λ=2（a_n+λ） 的等價關系式，此時可求出等比數列 {a_n+λ} 的通項公式，進一步根據構造的數列求出 α_an，S_αn ，從而解不等式.解因為 a_n+1+2a_n=3 ，所以 a_n+1-1=-2（a_n-1） ，且 a₁-1=1 ，所以數列 {a_n-1} 是首項為1，公比為一2的等比數列，則 a_n-1=（α-2）β^n-1 ，所以 a_n=1+（-2）^n-1 因為 所以 即 號所以 n?log₂300 ，因為 2⁸=256lt;300lt;2⁹=512 .

所以滿足不等式 的最小整數 Ω_n 為9.

變式 已知數列 {a_n} 滿足 a₁=1，a_n+1²= 10a_n（a_ngt;0） ，求 {a_n} 的通項公式.

分析該題可以考慮根據遞推式 a_n+1²=10a_n 兩邊同時取對數，得到關系等式 2loga_n+1=loga_n+1 后，可構造等比數列 并求出對應通項公式，此時 {a_n} 的通項公式等價于 通項公式的等價轉化.

解等式兩邊取以10為底的對數，可得 2loga_n+1=loga_n+1 ，即 ，所以數列 是以 lga₁-1=-1 為首項 為公比的等比數列，所以 （204號即 ，即

4結語

上述三種常見方法都是能夠求解數列通項公式的有效方法，但適用的范圍不同，需要學生比較總結.累積法和累乘法有異曲同工之處，與遞推式的結構特點緊密聯系，構造法則適合大部分數列通項問題.掌握這些常見方法，才能更深入地了解數列，更高效地解答問題.

參考文獻：

[1]李君憲.例析求數列通項公式的幾種思路[J].語數外學習（高中版中旬），2022（4）：45-46.

[2]余濤.高中數學數列通項公式求解技巧[J].數理化解題研究，2023（34）：88-90.