三角函數圖象變換方法探討

三角函數圖象的變換分為兩類，即伸縮變換和平移變換，從方向角度進行分類又分為橫向變換和縱向變換.在橫向變換時，平移變換的單位受 ω 值的影響，所以先平移后伸縮和先伸縮后平移在平移的單位上有不同.另外，經過平移后，要改變三角函數名時，在平移單位上也很難把握.本文將從橫坐標的先伸縮后平移、先平移后伸縮和變換后解析式改變三角函數名，三種角度展開例談.

1橫坐標的先伸縮后平移

這種路徑針對變換后不改變函數名的題型.主要路徑是對橫坐標進行先伸縮后平移變換，此時平移的單位應該為

例1寫出將函數 y=sinx 的圖象變換為函數 的圖象過程.

解對橫坐標進行先伸縮后平移變換，過程如下：

由函數 的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的 倍，縱坐標不變，得 y=sin2x ：

將函數 y=sin2x 的圖象上所有點的橫坐標向右平移 個單位，縱坐標不變，

得

再將函數 的圖象上所有點的縱坐標擴大為原來的3倍，橫坐標不變，

得

最后將函數 的圖象上所有點的縱坐標向下平移2個單位，橫坐標不變，

得

評注該題是常規三角函數圖象的伸縮平移變換，方法上選擇對橫坐標先伸縮變換，再平移.一般解題步驟是圍繞橫坐標先伸縮變換，再平移，縱向先伸縮還是先平移，沒有任何影響，所以縱向不用考慮先后的問題.但是值得注意的是：對橫向變換時，先伸縮變換后，再進行平移時，“左加右減”前，要先將 ω 提出來，進行“左加右減”后又乘進去，如f（x）=sin[ω（x+φ）]=sin（ωx+ωφ） ，不能直接在后面“左加右減”.

2橫坐標的先平移后伸縮

該方法是針對橫坐標的先伸縮后平移的另外一條路徑，即在橫向變換時，先平移后伸縮，這時候平移單位不受影響.

例2寫出將函數 y=cosx 的圖象變換為函數 的圖象過程.

解采用橫坐標的先平移，后伸縮的路徑，具體如下：

先將函數 y=cosx 圖象上所有的點坐標向左平移 個單位，縱坐標不變，得

將函數 圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的 ，縱坐標不變，得

將函數 圖象上所有的點縱向擴大為原來的2倍，橫向不變，得

將函數 圖象上所有的點向上平移1個單位，橫向不變，得

評注該題采用了橫坐標的先平移后伸縮路徑進行變換.一般解題步驟是針對橫坐標先平移，后伸縮，縱向不講究順序.這條路徑的優點是橫向平移的單位不受伸縮變換單位影響，不容易產生錯誤.但并不是說這種路徑簡單不易出錯，就可以丟棄先伸縮后平移的路徑，有時候已知變換前的函數解析式和變換后的解析式，求橫向平移單位時，必須考慮先伸縮后平移的路徑，否則極易出錯.

即

3改變函數名的變換方法

這種方法主要針對將正弦函數圖象變為余弦函數圖象，或者是將余弦函數圖象變為正弦函數圖象.這類題型的難點是橫向平移單位難以確定，處理方式下面具體例談.

例3將函數 的圖象變為函數 的圖象至少需要向右平移多少個單位.

解 已知 ω=2 .

因為變換后三角函數名發生改變，所以首先考慮改變函數名，則應先向左，或者向右平移 個單位.

又因為沒有符號變化，所以應該先向右平移個單位，縱坐標不變.

所以

得到函數

再將函數 圖象上所有點的橫坐標向右平移 個單位，

所以要將函數 的圖象變為函數 的圖象至少需要向右平移 個單位.

評注題目是通過左右平移，將余弦函數變為正弦函數，要求平移的最小單位，解答這種題型的關鍵是平移的單位難定，本題通過分步完成.一般的解題步驟為：第一步：通過左右平移改變函數名，此時需要注意符號問題，一般是由左右兩個方向控制符號；第二步：改變函數名后，再確定同名函數的平移單位；第三步：將兩次平移的單位加起來，得到總的平移單位.

4結語

本文針對三角函數的圖象變換問題展開探究，一方面，在橫向變換中，先平移后伸縮時，對平移單位沒有任何影響，先伸縮后平移時，平移單位變為，根據這種情況，本文分為兩條路徑進行了例談突破.另一方面，有的題型，通過伸縮平移變換后，將正弦函數圖象變為余弦函數圖象，或者是將余弦函數圖象變為正弦函數圖象，以確定平移的單位，這是難點，本文也以例談形式進行突破，提出先改變函數名，再在同名函數間進行綜合平移，最后綜合考慮處理.以上是通過例談形式對三角函數圖象變換方法進行探究，并提出具體處理方法，以供參考.

參考文獻：

[1]姜健剛.例談三角函數圖象變換的順序[J].試題與研究（新課程論壇），2012（18）：72.

[2]張宇甜.三角函數圖象變換的順序尋根[J].高中數理化（高一），2008（3）：6-7.

[3]劉兵.三角函數圖象變換中常見的錯誤分析[J].高中數理化，2015（16）：8.

[4]梁宗明.三角函數圖象變換中的三類“重合”[J].數理化解題研究，2017（7）：23.

[5]牟哲偉.探析三角函數圖象的變換[J].高中數理化，2011（18）：9-10.