基于高中數學一元線性回歸的實驗跨學科應用

在物理實驗中，會面臨許多復雜的數據變量，這些變量之間往往有著密切的聯系，對其進行準確識別和量化分析是深入理解物理實驗的關鍵1.回歸分析是根據相關關系的具體形態，選擇合適的數學模型，并對實驗數據進行有效擬合，通過數學方程式表達變量之間的數量關系，是一種被廣泛使用的統計方法[2].其中，一元線性回歸模型是描述兩個變量之間相關關系的最簡單的回歸模型[3.在一元線性回歸分析中，設定一個因變量和一個自變量，并假設它們之間存在線性關系，利用最小二乘法[4確定最佳擬合直線.能夠有效減少實驗數據與擬合曲線之間的誤差，從而獲得最佳的線性模型.

自由落體運動實驗[5]，主要探究重力作用下物體的下落規律，實驗變量包括時間和位移等.理論上，自由落體的下落位移與時間的平方成正比，但實際實驗中由于測量誤差和環境因素的干擾，變量間的數值關系往往難以直接呈現出理想的平方關系.采用一元線性回歸分析，可以將時間平方項作為自變量，位移作為因變量，建立其線性關系，基于最小二乘法擬合得出回歸系數.回歸系數的理論值應接近重力加速度 g （約 9.8m/s² ），且決定系數 R² （取值在 0～1 之間），值越接近1，說明回歸模型對數據的解釋能力越強.本文運用一元線性回歸分析自由落體運動實驗數據，線性擬合效果較好，較好地完成了實驗數據的處理.

1一元線性回歸的基本原理

1. 1 一元線性回歸模型

一元線性回歸模型可以用描述因變量 Y 如何依賴一個自變量 X 和誤差項：的方程來表示，其模型可以表示為： ：

式中， β_o 和 β₁ 為模型的參數，因變量 Y 是自變量 X 的線性函數 （β₀+β₁X） 加上誤差項 ε 之和. β_o +β₁X 反映自變量 X 的變化而引起的因變量 Y 的線性變化，誤差項 ε 表示除 X 和 Y 的線性關系之外的隨機因素對 Y 的影響，不能由 X 和 Y 的線性關系解釋因變量 Y 的變異性.一元線性回歸方程的形式為：E（Y）=β₀+β₁X+ε

一元線性回歸方程的圖示是一條直線， ?β₀ 是回歸直線在 軸上的截距， β₁ 是回歸直線的斜率，代表 X 每變動一個單位時， E（Y） 的變動量

1.2 最小二乘法

一元線性回歸模型的參數 β_o 和 β₁ 都是未知的，需要利用樣本數據去估計.假設有 Ω_n 組 X 和 Y 的觀測值，即 Xi，Yi，i=1，2，…，n ，根據樣本統計量 和 估計模型中的參數 β_o 和 β₁ 之后，就得到了估計的回歸方程：

式中， 表示估計的回歸直線在 Y 軸上的截距； 為估計的回歸直線的斜率，表示自變量 X 每變動一個單位時，因變量 Y 的平均變動量.最小二乘法的目標是找到 β_o 和 β₁ 的值，使得所有數據點到回歸直線的垂直距離（即誤差）的平方和最小，該垂直距離也被稱為殘差．也就是使得 達到最小.

設 ，為了找到使 s 最小的 β_o 和 β₁ ，求偏導數并令它們等于0，得到以下方程組：

解這個方程組，可求出 和 的估計量：

其中， x 和 y 分別是自變量 X 和因變量 Y 的樣本均值.

2 一元線性回歸分析在物理實驗數據處理中的應用

2. 1 自由落體運動實驗

2.1. 1 實驗原理

自由落體運動是物理學中研究物體在重力作用下自由下落的基本運動形式[6.根據牛頓第二定律，物體在重力作用下產生的加速度是一個常數，即重力加速度 g ，其值約為 9.8m/s² .理論上，物體的下落位移 s 與時間 t 的平方成正比，即 s∝t² .可以通過公式 來描述，其中 s 表示位移， t 表示時間.此原理是高中物理教學關鍵內容，也是理解物體運動規律的基礎.研究自由落體運動，有助于學生理解重力加速度的概念，并掌握驗證物理定律的方法，

2. 1. 2 實驗裝置

本實驗的實驗裝置包括：高度可調的釋放平臺、電火花打點計時器、長木板、紙帶、重錘、海綿墊以及固定支架.實驗裝置參數分別為：平臺高度可調節范圍為 0.5m～2m ，表面平整，確保物體從同一高度釋放，減少實驗誤差；電火花打點計時器的打點頻率為 50Hz ，即每0.02s在紙帶上打下一個點.電源為220V 交流電，確保穩定工作；長木板的長 2m ，寬0.2m ，以確保重錘有足夠的下落距離；紙帶的長度需超過 40cm ，寬度為 6mm ，以適應打點計時器的打點寬度；重錘的質量為 100g ，以確保其下落過程中主要受重力作用，減少空氣阻力影響；海綿墊的厚度為10cm ，安全地接收下落的重錘，防止損壞實驗設備和重錘反彈；固定支架材質為鋁合金，具有高強度和穩定性，確保計時器在實驗過程中不會發生位移或傾斜.

2.1.3 實驗過程

實驗過程中，學生將重錘從靜止狀態釋放，利用打點計時器記錄重錘在相同時間內所運動的位移，數據見表1，并繪制位移和速度關系圖（見圖1），在此基礎上，通過描點繪制速度和時間關系圖（見圖2）.注：由于實驗過程中沒有從紙帶上最開始的點開始測量位移，因此速度和時間關系圖沒有經過坐標原點.

2.2 利用一元線性回歸處理實驗數據

2.2.1 實驗數據擬合

由圖2所示，速度 v 與時間 t 在誤差允許范圍內呈正比關系，即自由落體運動是勻加速直線運動.然而，在實驗中，由于測量誤差和環境因素的影響，實測數據不完全符合線性關系.所以需要進行線性擬合.基于一元線性回歸分析，建立速度 υ 與時間 Ψ_t 兩者之間的線性模型.再利用最小二乘法擬合直線，從而驗證自由落體運動的線性關系.

2. 2.2 實驗數據擬合結果分析

由圖3所示，擬合得到的直線能夠穿過數據點，表明數據點能在直線兩側合理分布.擬合后的數據表格（見表2）可以看出，斜率 k 為 968.04cm/s² ，即加速度為 9.68m/s² ，擬合程度為 98.78% ，近似于重力加速度 9.8m/s² .因此，得出結論：自由落體運動是初速度為0的勻加速直線運動，其加速度為重力加速度.

3結語

一元線性回歸在高中物理實驗中的跨學科應用，為物理實驗數據分析提供了新的視角，也深化了數學與物理兩門學科的融合.一方面，利用一元線性回歸模型，學生能夠直觀地觀察變量之間的線性關系，提升其數據分析能力與邏輯推理能力.另一方面，有助于培養學生的學科綜合素養，如科學探究能力與數學建模能力，為其接下來的課程學習與實踐打下基礎.然而，在實驗實施過程中，需要注意以下幾點：第一，教師要將回歸分析與物理實驗數據緊密結合，探索合理的實驗設計和問題情境，引導學生自主發現數據間的關系，并在實際操作中感受到數學工具的實用性與價值.第二，教師還需重視實驗裝置和分析工具的使用指導，幫助學生掌握回歸分析所需的軟件或技術手段，避免技術障礙成為教學瓶頸.此外，一線教師在推動跨學科應用時，也可以采用課題研究、教學競賽等方式積累經驗，逐步形成系統化的教學模式.同時，以典型的物理實驗為切入點，優化教學案例，并設計多元化的跨學科教學方案，為更多教師提供參考.在教學評價方面，還可以分析學生在實驗設計、數據處理與問題解決等環節的表現，有針對性地改進教學實踐.隨著新課程標準的實施與跨學科教學理念的深入推廣，基于一元線性回歸的物理實驗教學的實施，能提高學生對學科知識的綜合運用能力，還將為培養具有創新意識和科學素養的新時代人才提供重要助力.

【本文系2022年度江蘇省教育科學規劃“十四五”重點課題“高中理科跨學科學習項目的設計與實施研究\"（課題編號：B/2022/03/123）和江蘇省第十五期教研重點課題“普通高中理科跨界融合實驗課程的實踐研究\"（課題編號2023JY15一ZA68）的研究成果】

參考文獻：

[1田長軍.巧用線性關系處理高中物理實驗數據J」.廣東教育（高中版），2024（08）：55—57+72.

[2]曹虎林.線性關系在高中物理實驗數據處理中的應用[J].數理天地（高中版），2024（10）：104—105.

[3]周洪亮.基于物理實驗數據的回歸分析[J].科學技術創新，2024（04）：183—188.

[4]羅小成，蔡雨，王晨霖，等.Excel表格在物理實驗數據處理中的應用[J].內江師范學院學報，2022，37（08）：101-108.

[5]曾心，劉健智.Origin軟件在中學物理實驗數據處理中的應用——以“自由落體運動”實驗教學為例[J].物理教師，2019，40（09）：74—77.

[6」朱湘平，梅孝安，朱虹燕.Tracker視頻分析軟件在高中物理教學中的應用—[J.湖南中學物理，2022，37（02）：61-63.