基于動量守恒定律的“人船模型”的解題方法

在解決物理問題時，偶爾會遇到一些看上去很難的題目，然而其中涉及的知識點都是最為基礎的，這就需要學生構建物理模型，透過現象直達問題的根本，如此難題便可迎刃而解，就如“人船模型”，其中所運用的知識點正是“動量守恒定律”.

小球和小車結合的“人船模型”

例1如圖1所示，一質量為 M 的小車靜止在水平地面上，小車左端是一個半徑為 R 的四分之一圓弧形軌道，小車的水平部分長為 L ，圓弧形軌道與水平部分相切連接，小車右端上表面距離地面的高度為h，不計一切摩擦，重力加速度大小為 g .現將一質量是 Ψ_m 的小球（可視作質點）從圓弧形軌道的頂端由靜止開始釋放，試求：

（1）小球運動到圓弧形軌道最低點時的速度大小；

（2）小球從開始運動至最后落到地面上，其水平位移大小.

問題分析研究對象是小球與小車共同組成的系統，由于二者最開始時均處于靜止狀態，且它們在運動過程中水平方向不受力，因此該系統在水平方向上動量守恒，滿足于“人船模型”的條件.

圖2為小球在最開始時、恰好運動到小車的最右端時和落地時，三個不同時刻下小球與小車這一系統的運動情況.

解析（1）由題意可知，小球由靜止狀態開始運動，到達圓弧形軌道最低點這一過程中，小球與小車共同組成的系統在水平方向上動量守恒.

假設處在圓弧形軌道最低點時，小球的速度是v₁ ，小車的速度是 v₂ .根據動量守恒定律，可得 0= mv₁-Mv₂ ；再根據機械能守恒定律，可得 mgR= ，聯立上述兩式，解得小球的速度是

（2）假設小球恰好運動到小車的最右端，小球相對于水平地面的位移是 ，小車相對于水平地面的位移是 x_Π2 .根據（1）中可知，在運動過程中的任意時刻，小球與小車的速度均滿足于 ，由此可得 mx₁=Mx₂，x₁+x₂=R+L

小球從小車的最右端飛出后做平拋運動，假設運動時間 Ψ_t 后，小球落到水平地面上，如圖2所示，則有 gt2，水平位移x=U1t.因此，整個運動過程中，小球的水平位移是 x=x₁+x₃ ，聯立上式可解得

2斜面上的“人船模型”

例2如圖3所示，將位于光滑水平面上的正方體冰塊沿虛線切割，切割后分為 A，B 兩部分，切割面與水平面的夾角是 37^° .已知正方體冰塊的質量是m，棱長是L，A、B的質量分別是mA＝ ，A、 B 間的動摩擦因數是 μ=0.05 ，重力加速度大小是 g sin37^°=0.6 ，下滑過程中 A 不會翻轉.

（1）A從圖3所示的位置由靜止釋放，沿著切割面滑下，直至剛與水平面接觸，求整個過程中 B 移動的距離；

（2）在第（1）的情境中，如果不計冰與冰之間的摩擦，求該過程中 A 對B做的功.

問題分析 本題考查的是對“動量守恒定律”“機械能守恒定律”的應用.

A部分冰塊和 B 部分冰塊共同組成的這個系統，動量并不守恒，其在水平方向上動量守恒，切莫混淆.

解析（1）如圖4所示，假設 A 部分移動的水平位移是 x_A ， B 部分移動的水平位移是 x_B

根據直角三角形的幾何關系，可得知 x_A+x_B =Ltan53^°-L

A 部分與 B 部分共同組成的這一系統在水平方向上動量守恒，則有 m_Ax_A=m_Bx_B .聯立上述兩式，可解得xB

（2）如圖5所示，在 A 部分恰好與水平面接觸時，令 A 部分的速度是 v_A ，方向與水平方向所成夾角是 α，B 部分的速度是 v_B

A 部分與 B 部分共同組成的這一系統在水平方向上動量守恒，則有 m_Av_Acosα=m_Bv_B ，該系統機械能守恒，又有

A 部分與 B 部分在垂直于切割面方向上的速度相同，即 v_Asin（α-37^°）=v_Bsin37^°， 業

聯立上述的計算式，可解得

在整個過程中，對 B 部分利用動能定理，則有 mBU，可解得W

3結語

通過對“人船模型”的兩道不同題型的剖析，不難發現，在解決此類問題的過程中，學生不僅需要加深對“動量守恒定律”這一物理原理的理解，還要將其靈活應用于解決實際問題.利用構建“人船模型”的方法，學生應該熟練掌握對系統動量守恒的分析，明確研究對象，列出守恒方程式并求算未知量的解題方法.此方法不僅能夠提升學生解決物理問題的綜合實踐能力，還鍛煉了學生的邏輯思維能力和數學運算能力.