基于LC振蕩電路的情境化仿真教學

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148（2025）4-0083-5

1引言

L C 振蕩電路，也稱為諧振電路，是由一個電感 （ L ） 和一個電容 （ C ） 連接在一起的電路。它是許多電子設備中的關鍵部件[1。同時， L C 振蕩電路也是高中物理電磁學的重要內容[2-3]。學生要理解該電路的工作原理，就需要掌握電容和電感的概念及其工作原理。為了幫助學生深入理解L C 振蕩電路，可以通過虛擬仿真技術來模擬該電路，實現該電路的情境化教學。

目前，模擬 LC 振蕩電路的方法有兩種。一種是“半過程”情境仿真，即先把求解出來的電流、電量等參數方程錄人到Geogebra等數學仿真軟件中進行動態描繪。另一種是全過程情境模擬，即直接把電路圖輸入到MatlabSimulink等電路仿真軟件中[4-6]，然后由軟件根據內置方程求解器計算電流、電壓、電量等參數，并繪制這些參數的動態變化。全過程情境仿真更接近實物實驗，仿真結果更容易受電路中各元件參數的影響。

COMSOLMultiphysics（簡稱COMSOL）是基于有限元分析的工程仿真軟件[7-9]，其根植于數學物理理論，從底層的理論出發，可以輕松實現各種物理現象的情境化仿真。因此，本文以 L C 振蕩電路為例，嘗試使用COMSOL全過程仿真，探究電容、電感及電阻對 L C 振蕩電路性能的影響。為學生提供實踐經驗，拓展學生對電路認識的深度和廣度，提升學生的科學思維素養。

2 LC振蕩電路模型

根據電感和電容的連接方式， L C 振蕩電路可分為 L C 并聯振蕩電路和 L C 串聯振蕩電路[10]。在人教版普通高中教科書《物理選擇性必修第二冊》中，將線圈、電容器、電源和單刀雙擲開關按圖1所示組成一個 L C 串聯振蕩電路。先讓開關與電源連接給電容器充電，然后開關向線圈一側電路閉合。此時， L C 串聯振蕩電路中的電流和電壓等信號會發生周期性變化。

3 COMSOL仿真過程

3.1 模型定義

利用COMSOL物理場仿真軟件中的電路功能，建構電路模型。在利用COMSOL建模前，需對圖1中的電路進行簡單變換。因為軟件仿真時可以直接定義初始條件，不需要單刀雙擲開關。另外，COMSOL電路搭建需要節點設置和接地條件。節點0、1、2用于組裝電路時定義元器件的接電端口，其中節點0接地。為模擬情境化仿真電路中內阻（損耗電阻）對振蕩信號的影響，還需在電路中添加一個滑動變阻器，如圖2所示。

3.2 模型建構與計算

首先，在新建窗口中，單擊“模型向導一零維”。在物理場中，選擇“AC/DC—電路”。研究類型選擇“一般研究—瞬態”。在“組件1—電路”中，添加接地點，選擇節點名稱為0。接著添加電感器， 點分別選擇節點0和1，如圖3（a）所示。然后添加電容器和電阻，電容器和電阻的 p ）n 節點分別是1、2和2、0。將電容器的初始電壓設定為1V，這與教材中電容充電的初始條件相對應。之后，在參數1中定義電阻 R 電感 L 、電容 C 、電流Current和周期 T 的值，如圖3（b）所示。再在“研究1—瞬態—設置\"中，把“輸出時步\"設定為 ，時間單位為s。“輸出時步\"指計算的時間從0開始，到10個振蕩周期 （ T ） 結束，計算時間間隔為 至此，整個模型建構完成。

3.3 模型計算

點擊“計算”，可得到計算結果。在“組件1一定義\"中添加探針，便可從計算結果中調取電流、電壓、節點電壓等數據。為方便研究，可以把探針分為幾個節點組。一組用來測元器件中的電流，一組測元器件終端電壓，還有一組測各節點電壓。當損耗電阻不為零時，還可以探測電阻的功耗或者熱消耗。選取探針繪圖組中的探針表圖，就能情境化仿真振蕩電路中的周期性變化的物理量。

4情境化仿真教學設計

4.1 L C 振蕩電路情境化仿真設計

為了系統地研究 LC 振蕩電路中電感、電容及損耗電阻等參數對電流和電壓曲線的影響，制訂了圖4所示的情境化仿真設計方案。首先，設定損耗電阻 （ R=0 ） ，分別固定電容 c 和電感 L ，研究調控 L 和 C 時的電流、電壓等參數的變化曲線。然后，假定存在損耗電阻 （ Rgt;0 ） ，分別研究損耗電阻 R 變化而 L 和 C 不變以及損耗電阻 R 不變而 L 和 c 變化時的電流、電壓曲線。

4.2 理想 L C 振蕩電路的情境化仿真

仿真前，教師要引導學生：當 L C 振蕩電路中的消耗內阻 R=0 時，不會產生熱消耗。此時，L C 振蕩電路處于理想狀態，沒有能量損耗。電容的電流和電壓（或極板帶電量）都應該做諧振運動。因此，可通過情境化仿真實驗，檢驗電流和電壓曲線是否處于諧振狀態。

首先，將圖3（b）中的 R 值改為0，其他參數（ L=2m H， C=2m F） 保持不變，可得電流和電壓的變化曲線，如圖5（a）所示。需要指出的是，電容和電感的電流、電壓曲線相似，圖中僅展示電容器元件的電流和電壓曲線。另外，由于電流和電壓值的單位不同，所以縱坐標沒有標明物理量單位，兩條曲線對應的縱坐標值分別以A和V為單位。可以看出，電流和電壓確實處于諧振狀態，隨時間呈現周期性振蕩。 t = 0 時，電壓最大、電流為零，這表明電壓超前電流，即先有電容電壓（初始值為1V，電容放電后在電路中形成電流。根據 L C 振蕩電路的周期公式 ，可得振蕩周期 T≈0 . 0 1 2 6s ，這與圖中的變化周期一致。當把 L 調至原來的4倍（ 8 m H 時，電流的振幅變為原來的 1 / 2 ，周期變為原來的2倍 ，如圖5（b）所示。這說明，電感增大后，電流減小，周期增大，但電容器電壓的振幅不變。相反，把L調至原來的 1 / 4 （ 0 . 5 m H） 時，電流的振幅變為原來的2倍，周期變為原來的1/2（ T≈0 . 0 0 6 3s） ，如圖5（c）所示。

教師根據以上結果設置問題：為什么電感增大后，電流減小？學生根據教師的問題進行分組討論。教師對各組的討論表現進行評價后，對該現象的原因進行總結：根據電磁感應定律，線圈經過變化的電流可以產生磁場，變化的磁場會感應出電動勢，進而產生感應電流。再由楞次定律，感應電流所產生的磁場總是阻礙原來的磁場。因此，當電感經過交流電時，感應電流會阻礙變化的電流（交流電），導致電流的振幅變小。

然后，教師引導學生：通過 L C 振蕩電路的情境化仿真實驗，我們發現了電感器有抑制變化的交流電的作用。那么，電容器在電路中又起什么作用呢？我們可以嘗試增大電容，并觀察電路信號的變化情況來探究這個問題。

實驗設計： L 不變，分別將 c 調為原來的4倍和1/4，且初始電流為0A、初始電壓為1V時，仿真結果分別如圖6（a）（b）所示。可以看出，當 c 為原來的4倍時，電流的振幅和周期都為原來的2倍，但電壓的振幅不變；當 C 為原來的1/4時，電流的振幅和周期都為原來的1/2，電壓的振幅也不變。這些結果表明，增加電容的容量會增大電流的幅值，但不會改變電壓的幅值。

平均電流，即 其中， k 為無量綱的比例系數， Q 為電容帶電量， T 為振蕩周期。又由于Q = C U ， ，可得

由于 k ， U 和 L 都不變，所以電流幅值 正比于 。

教師提問：增加電容的容量，電壓的振幅一定不變嗎？

教師引導學生討論上述問題并評價后，給出答案：在情境化仿真的參數設置中，電感器的初始電流為0A，電容器的初始電壓設置為1V（電壓的振幅固定）。所以，增大電容無法改變最大電壓值。如果電容器初始電壓為0V（電壓振幅可調），電感器的初始電流設置為1A（電流振幅固定）。由于電容器的最大電量 Q = I T ， I 為一個振蕩周期內的平均電流，它與電流振幅 成正比，即 為比例系數。所以， 。那么，電壓為

由于 和 L 都不變，所以電壓幅值 U 正比于

圖7為參數 L=2m H， C=8m F （電感器的初始電流為1A，電容的初始電壓為0V）時的電流和電壓曲線，與圖6（a）比較可以看出，電容 C 增大4倍時，電壓被抑制為原來的1/2，仿真結果與理論分析一致。

重要結論：在 L C 電路中，電容器里面存儲的是電場能。由于電磁感應效應，在電感線圈中儲存的是感應磁場能。振蕩電流可視為交流電，電感具有抑制交流電的作用，電容有抑制電壓的作用。

4.3 有阻尼 L C 振蕩電路情境化仿真

教師要引導學生理解 電路是一個理想化的模型，它沒有考慮電路中的電阻。事實上，作為一個閉合回路，其包含的組件和導線等都不可避免地產生損耗電阻”。接著，教師提問：“有電阻時，電容器的電流和電壓曲線會怎么樣？\"學生的回答五花八門。教師接著引導：“當電路有損耗電阻時， 振蕩電路中存在能量損耗[]。因此，實物的 L C 電路實驗，若沒有外界能量輸入，都應該表現為阻尼振蕩。”

然后，通過仿真實驗檢驗是否存在阻尼振蕩現象。為了便于對比，可固定 L 和 C 的值 ，C=2 m F ，改變損耗電阻 R 。當初始電流為 0 A 初始電壓為1V時，仿真得到 R 為 和 2 Ω 時的振蕩曲線，分別如圖8（a）（b）（c）所示。

可以看出，當 R=0 . 1 Ω 時，電流與電壓的符號雖然發生周期性變化，但隨著時間的推移，它們的振幅呈指數遞減，這屬于典型的阻尼振動狀態。導致阻尼振動的原因是損耗電阻產生的焦耳熱消耗了一部分電場能和磁場能，使電路中的總能量逐漸減小，表現為振幅的減小。圖中顯示電路中損耗電阻的熱功率（電阻可以視為熱源）與電流的大小密切相關。

當 時，電流與電壓只振蕩一次就全部趨于零，且沒有固定的振蕩周期，這屬于典型的欠阻尼狀態。表明損耗電阻的熱功率較大，電路中的總能量只能維持電流和電壓振蕩一次（大概經歷0.023s）。

當 R=2 Ω 時，電壓和電流經歷0.0151s后變為零，且不再發生符號變化。此時，電路處于過阻尼狀態。導致過阻尼狀態的原因是損耗電阻太大，電路中的能量消耗過快，無法產生振蕩信號。

設計情境化教學時，教師可在這一環節提問：同學們能否根據情境化仿真曲線，得到電阻的熱功率的表達式？

教師引導學生充分討論后總結：電阻的熱功率與電阻的值和電阻中流過的電流有關。

從圖8（c）的曲線可以看出，當 t = 0 . 0 0 2 5 s時，熱功率 P 的值最大 ）。此時，電流強度 I 也到達負的最大值（-0.3584A）。 P 和 R 正好滿足電阻功率的表達式 P=P R ，表明熱源功率 P 確實是由損耗電阻 R 產生的。

因此，損耗電阻是導致阻尼狀態的關鍵因素，在設計 L C 諧振電路時，要盡量減小電路中的損耗電阻。如果在 L C 電路中添加一個與振動周期相同的振蕩電源，并讓內阻足夠小，那么電源只需消耗很小的能量，就可以維持 L C 電路的諧振。

5結論

高中物理中， 振蕩電路是一個較理想的物理模型，很難進行實物演示，教材中也是以示意圖展示為主，學生較難理解該電路的物理情境。本文利用COMSOL物理場仿真軟件，成功實現了 L C 振蕩信號的情境化教學。并以諧振狀態、欠阻尼狀態和過阻尼狀態的電流、電壓曲線為情境化對象，設計情境化教學場景。利用情境化仿真，可以讓學生觀察并思考電容、電感等對振蕩周期的影響。最后，通過引入損耗電阻，引導學生觀察電阻熱功率曲線，讓學生明白 L C 電路中不可避免的損耗電阻會導致電壓和電流等參數做阻尼振蕩，電阻上產生的焦耳熱來源于 L 和C 中的電磁能。

參考文獻：

[1]方武增.高中物理教學中融合初階工程測量的實踐一以“液面高度測量方法的比較”為例[J].物理教學探討，2023，41（10）：67-70.

[2]陳朋，張曉琳.夯實基礎知識提升學科素養—電容器、線圈及 L C 振蕩電路的圖像研究[J].中學物理教學參考，2024，53（13）：18-21.

[3]陳宏.‘ 振蕩電路”考題研究[J].數理化學習（高中版），2000（3）：42-43.

[4]徐超凡，王林.Matlab仿真電磁振蕩實驗在教學中的應用[J].物理教學探討，2018，36（8）：46-49，52

[5]許萍，張敬懷，高獻偉.用PSPICE對 L C 振蕩器實驗進行仿真[J].實驗技術與管理，2002，19（5）：74-77.

[6]楊清宇，郝睿.融合Multisim技術的中學物理可視化實驗的設計與實踐——以“電磁振蕩\"為例[J].物理通報，2021（3）：120-124.

[7]王明亮.利用COMSOLMultiphysics開發高中物理電場線教學素材[J].物理教學探討，2024，42（6）：83-86.

[8]王暢，王海鋒，高艷.COMSOL軟件在高中物理教學中的應用——以“磁場和磁感線”為例[J].物理通報，2021（2）：97-99，103.

[9]陳慶東，王俊平.基于COMSOL軟件的靜磁場仿真與分析[J].大學物理實驗，2018，31（2）：88-91.

[10]張宏根.類比法在RLC串聯電路分析中的應用[J].物理教師，2022，43（5）：90-93.

[11]林輝慶.“損失”的能量哪里去了[J].中學物理教學參考，2021，50（31）：22-23.

（欄目編輯賈偉堯）