關于金屬線圈會不會“卡”在磁場邊界的思考

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A

在中學物理中有這樣的一類問題，就是研究金屬線圈經過磁場區域時僅在安培力的作用下金屬線圈的運動學規律以及動力學表現[1。由于金屬線圈在運動過程中受到的安培力與金屬線圈運動的速度有關，而安培力又反過來影響金屬線圈的運動速度，故金屬線圈在做一個加速度減小的減速運動，這種減速運動仿佛是金屬線圈受到了一個摩擦阻力一樣，故稱為電磁阻尼運動。雖然中學階段不會去具體地研究金屬線圈的運動學方程，且可以用一些守恒定律或者是運動變化過程中的平均量或者平均思想來思考和解決問題，但是這些平均量是否能起到等效的作用值得深思[2-3]。接下來，將利用微積分的方法研究正方形金屬線圈在無摩擦情況下進出足夠大勻強磁場時的運動學方程[4]。

1高中最經典的正方形金屬線圈通過勻強磁場問題

例題如圖1所示，在光滑的水平地面上有一正方形金屬線圈以初速度 向右運動，在其前方有一垂直紙面向里的正方形區域勻強磁場，文章編號：1003-6148（2025）4-0070-3磁場區域足夠大。已知金屬線圈完全進入磁場后的速度剛好減半，則金屬線圈從進入磁場到完全離開磁場的整個過程中速度隨時間的變化可能正確的是（ ）

小的減速運動，不足以判斷出正確選項。相比于得出正確選項，我們會更想知道：金屬線圈到底做怎樣的運動，線圈會不會“卡”在磁場邊界進不來，或者出不去，金屬線圈的運動學方程到底是怎樣的。下面從牛頓第二定律出發來研究這個運動過程。

2 正方形金屬線圈進入勻強磁場時的運動學方程

想要搞清楚正方形金屬線圈會不會被“卡”在磁場邊界，最直接的方式就是求出正方形金屬線圈進出勻強磁場時的運動學方程。金屬線圈進入勻強磁場時，在不考慮摩擦力的情況下水平方向僅受安培力作用，當正方形金屬線圈的運動速度為 時，由牛頓第二定律可得

其中， m 為正方形金屬線圈的質量，l為正方形金屬線圈的邊長， R 為正方形金屬線圈的電阻， B 為勻強磁場的磁感應強度，且規定運動方向為正方向。（1）式可變為

根據動量定理也可直接得出（2）式，（2）式正是該運動過程中動量定理的微分形式。想要知道正方形金屬線圈的運動學方程，只需（2）式兩邊同時對正方形金屬線圈進入勻強磁場過程進行積分即可， mdu，計算后得到

其中， 為正方形金屬線圈速度從 變成 v 的時間。由（3）式可以得到正方形金屬線圈進入勻強磁場時的速度一時間關系

（4）式說明正方形金屬線圈在進入勻強磁場過程中速度呈指數衰減，且速度衰減的快慢程度由因子T=B 決定。從（4）式可以看出，正方形金屬線圈的質量和電阻越大，速度衰減得越慢，正方形金屬線圈邊長和勻強磁場磁感應強度越大，則速度衰減得越快，這也是電磁阻尼的原理，符合我們的預期。將（4）式兩邊同時對時間積分

得到正方形金屬線圈進入勻強磁場時的位移大小和時間的關系

有了（5）式就可以分析正方形金屬線圈進出勻強磁場時會不會“卡\"在磁場邊界的問題

3正方形金屬線圈能否完全進入或完全離開磁場的條件

正方形金屬線圈進入磁場的過程是一個消耗線圈動能的過程[5-6]，若正方形金屬線圈較長，就有可能無法整體進出磁場，被“卡”在磁場邊界。由（5）式可知，在磁場區域足夠大的情況下，正方形金屬線圈能運動的最大位移

由（6）式可知，所謂“磁場區域足夠大\"并不是無窮大，只需磁場寬度不小于 即可，且由（6）式可得正方形金屬線圈能完全進入磁場的條件：若 ，即 則正方形金屬線圈被\"卡\"在進磁場的邊界;若 ，即 則正方形金屬線圈可以整體進入磁場；若 mRvo=l，即vo 則正方形金屬線圈剛好能整體進入磁場邊界。

接下來一個自然的問題是，若正方形金屬線圈被“卡\"住，則卡在什么位置；若正方形金屬線圈能整體進入磁場，那么能否整體沖出磁場邊界（不難理解，正方形金屬線圈出磁場時的規律跟進磁場時的規律是一樣的，只不過出磁場時的初速度變為整體進入磁場時的末速度）。通過（2）式可以得到正方形金屬線圈整體進入磁場后的末速度。由（2）式得

其中， ds = v dt ，是正方形金屬線圈在此時間內的位移，由（7）式兩邊同時對變量積分 得到

其中， s 為正方形金屬線圈從速度 變為 所發生的位移大小，由（8）式可得正方形金屬線圈完全進人磁場后的速度

有了正方形金屬線圈完全進入磁場后的末速度，同理可得正方形金屬線圈能完全出磁場的條件：

若 即 則正方形金屬線圈被\"卡\"在出磁場的邊界；

若 即 則正方形金屬線圈可以整體出磁場邊界；

若 即 則正方形金屬線圈剛好可以整體出磁場邊界。

此例中已知正方形金屬線圈完全進入磁場后的速度為 ，故正方形金屬線圈剛好可以整體出磁場邊界，即出磁場后的速度為零，D選項正確。另外，如果正方形金屬線圈被“卡\"住，只需令（8）式中的末速度 v = 0 ，即可得正方形金屬線圈進入磁場的長度 ，此時 ，故s 的位置。

參考文獻：

[1]許倩，徐平川，黎國勝.電磁感應中速度隨位移均勻變化的“另類勻變速直線運動”的深入研究[J].物理教學，2022，44（9）：8-11.

[2]鐘祺浩.從一道高考題談能量守恒思想[J].物理教師，2024，45（8）：58-60.

[3]王朝輝，于正榮.由一道電磁感應問題談物理量的平均值[J].物理教師，2023，44（8）：56-57，60.

[4]陳戀.高中物理解題中微元法的應用[J].廣西物理，2024，45（1）：103-105.

[5]李衛松.電磁感應現象中的力和能量轉換之間的關系[J].物理教學，2024，46（1）：16-18，28.

[6]婁國華.例析電磁感應中的能量問題[J].廣西物理，2023，44（1）：208-210.

（欄目編輯 蔣小平）