對“等時圓”模型的反向建模注重對結論的反向探究

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148（2025）4-0065-3

《普通高中物理課程標準（2017年版）》指出，學生應達到的目標有“具有建構模型的意識和能力；能運用科學的思維方法，從定性和定量兩個方面對相關問題進行科學推理、找出規律、形成結論。\"在以往的教學中，注重的是在教師的指導下，讓學生對已有的模型進行分析，學會拆模、析模，運用規律和方法解題，而沒有關注學生發現問題、建構模型的能力。根據實際情境建立模型是當前考試評價的重要方面，也是物理學科關鍵能力之一，因此教學的重心要前移，要注重引導學生建構模型，培養模型建構的能力。通過對結論的思考，反向建立模型，也是一種重要的建模能力培養方式。

1 光滑軌道的“等時圓”模型

在高中必修一“運動和力的關系”章節教學后，在牛頓第二定律和運動學結合的習題教學中，會涉及到一個基礎模型一“等時圓”，往往教學的過程是直接給出了“等時圓”的模型，讓學生去解決問題，然后再用相應的習題來拓展“等時圓”的應用。

模型如圖1所示，光滑圓軌道豎直放置，半徑為 R ，圓心為 o ，最低點為 為圓上任意一點。一物塊（可看成質點）從 A 處靜止開始下滑，試證明沿不同角度軌道下滑到圓周上的時間是定值。

證明連接 和 B C ，可知 ，設∠ C A B = 6 ，則 ，物塊下滑的加速度為a=gcosθ，由運動學公式可知 xAB=at2，解得t= 。根據最終 的表達式可知，下滑時間 與傾角 θ 無關，即從 A 點滑到圓周上任意一點的時間都相同。還可以推知，物塊從 A 點自由落至c 點從 B 點由靜止開始滑到 C 點所用的時間是相同的。

這個知識點解決的過程是通過給定的模型，讓學生運用學過的規律來解決提出的問題，雖然能夠讓學生記住這個模型，但對于這個“等時圓”是如何建構出來的，并沒有進行相應的鋪墊，使這個“圓”出現得非常突兀，沒有進一步培養學生建構模型的能力。

2 “等時圓\"模型的反向建構過程

2.1 最基礎的斜面下滑問題

如圖2所示，一個光滑的固定斜面長度為L ，傾角為 θ ，一物塊（可視為質點）從斜面頂端靜止下滑，求物塊滑到底端的時間。

解答 物塊沿斜面下滑的加速度為 根據運動學公式 ，代人 L 和 進行計算，可得

這個解題過程非常簡單，從物理意義上來理解，就是求解初速度為0、以 a=? s i nθ 的加速度通過了 L 的路程的時間。若將這個結果與自由落體的時間表達式 2h對比，此表達式是不是可以等效理解為物體以大小為 a = g 的加速度、通過了h= 的位移自由下落所用的時間呢？

2.2 從斜面到自由落體的反向建模

根據上題的思路，如何根據結論去建構一個相應的與斜面模型相關的自由落體模型呢？這涉及到如何在這個斜面模型上找到一個包含 L 和θ 的結構。既然是自由落體，那么我們可以建構下落到最低點的自由落體運動。對于如何找到θ ，根據數學知識，可以過斜面最高點作斜面的垂線，如圖3所示。從建構出來的從 A 至 B 的自由落體運動來看，AB的長度為L 。，可以較容易地判斷出沿斜面下滑的時間和自由落體的時間是相同的。

2.3 結合斜面及自由落體的“等時圓\"的建構

根據圖3，再進行深入思考，由于 θ 是任意取的，那么以 為斜邊構成的直角三角形中，物體以零初速度沿著連接 B 點的弦構成的光滑斜面下滑的時間都應當與從 A 點開始至 B 點的自由落體時間是相等的。如圖4所示，可以發現，這些軌道雖然傾角和長度都不一樣，但根據幾何原理，這些斜面的頂點都是在以 為直徑的一個圓上。將這些點連起來，考慮到左右對稱，則是一個完整的圓。如果考慮到三維空間，則是一個以A B 為直徑的球面。可得到結論：以 A B 為直徑的圓（球面）上，從任意一點連接最低點建構一個光滑斜面，物體以零初速度下滑到最低點的時間均相同。

如果要得到圖1所示的“等時圓”，只需要根據對稱性進行平移即可。因此，最終模型的結論應當是，光滑情況下，物體從頂點由靜止開始沿弦滑到球面上任意點（或者從球面上一點沿弦滑到最低點）的時間均是相同的。

3 同類型模型的建構

如圖5所示，一束光自空氣以入射角 α 斜射入水中，折射角為 γ ，在光進入水后經過 L 的距離需要的時間是多少？（已知光速為 ∣ c ∣ ）

解答本題比較簡單，折射率 sina，光在水中的速度為 ，然后只需要用公式 x = v t ，就可以直接得出答案

但是，不同色光對同種介質的折射率是不一樣的，故以相同的人射角進入水中之后的折射角的大小是不同的，光速也是不同的。那么，一束復色光折射入介質中，經過相同的時間，不同色光都到達怎樣的位置呢？

設sinα和 是定值，那么時間的確定與 L 和siny有關。有了基礎“等時圓\"的建構，是不是也能同樣尋找一個定值來代替呢？可以引導學生進行圖6所示的模型建構。

XAcsinα，所以可知不同色光到達圓弧ABC上的時間都是相同的。

其中， 就是圖中的直徑 A C ，兩者的比值是定值。對于不同色光，雖然折射角 γ 和水中的光速是不一樣的，經歷相同的時間經過的距離也不一樣，但根據 進行代換得到 t =

這是一個光學上的“等時圓”。兩個不同的“等時圓”，解決問題的本質是相同的，整體反向建模的方法和思維的過程是異曲同工的。可見，只有在引導學生建模的過程中，注重模型的生成，才能有效地培養學生的學科關鍵能力。

4小結

高中物理的許多二級結論，都是在簡單模型的重構中生成的，比如平拋速度的反向延長線過位移的中點等。從以上分析可以看到，通過引導學生對結論中表達式的進一步分析，自主進行建模，在物理學科關鍵能力培養上遠比直接給學生模型更有效。通過引導學生分析建模，在教學中不是“授之以魚”，而是“授之以漁”，對學生探究能力的培養有很大的幫助。

參考文獻：

[1]王進峰.“等時圓”的一般規律[J].物理教學，2022，44（4）：52-53.

[2]卞志榮.構建“等時圓”模型速解相關題[J].物理教學探討，2007，25（6）：24-25.

[3]田川.對等時圓問題的探討[J].物理教學探討，2019，37（5）：59-62.

（欄目編輯 蔣小平）