借助Mathematica數(shù)學(xué)軟件探究橢圓擺微振動(dòng)問題內(nèi)涵

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2025）4-0052-6

當(dāng)前，在國家“雙新\"教育改革的背景下，如何應(yīng)對(duì)“綜合性大和變式后難度明顯陡增\"這一情況成為了中學(xué)教師和學(xué)生亟需面對(duì)的一個(gè)問題[1。大多數(shù)高考試題都具有豐富的內(nèi)涵，而內(nèi)涵的隱蔽性使之通常可能存在于一個(gè)全新的情境當(dāng)中，也可能存在于一個(gè)輕描淡寫的題設(shè)當(dāng)中（如一些近似條件的設(shè)置），需要做題者進(jìn)行一般性情況下的探究。與此同時(shí)，這些內(nèi)涵的抽象復(fù)雜性和物理圖景通常難以通過紙筆計(jì)算所明晰，而Mathematica這款數(shù)學(xué)軟件的存在便能在很大程度上解決這一問題。下面以2024年6月浙江省物理選考第9題為例進(jìn)行分析說明，探究其背后的橢圓擺微振動(dòng)問題內(nèi)涵，同時(shí)運(yùn)用Mathematica數(shù)學(xué)軟件展現(xiàn)此內(nèi)涵的清晰物理圖景。

1 原題呈現(xiàn)

例題如圖1所示，不可伸長的光滑細(xì)線穿過質(zhì)量為 0 . 1 k g 的小鐵球，兩端 懸掛在傾角為 的固定斜桿上，間距為 小球平衡時(shí)，A端細(xì)線與桿垂直；當(dāng)小球受到垂直紙面方向的擾動(dòng)做微小擺動(dòng)時(shí)，等效于懸掛點(diǎn)位于小球重垂線與 A B 交點(diǎn)的單擺，重力加速度 ，則（ ）

A.擺角變小，周期變大

B.小球擺動(dòng)周期約為2s

C.小球平衡時(shí)，A端拉力為√3

D.小球平衡時(shí)，A端拉力小于 B 端拉力

2 題設(shè)中易被忽略的條件

本道高考題以細(xì)線穿球懸掛（“滑輪\"模型）等效成單擺模型的新穎情境，考查學(xué)生對(duì)共點(diǎn)力平衡的計(jì)算和單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)周期公式的綜合運(yùn)用情況。細(xì)線穿球懸掛的復(fù)雜情境中，運(yùn)用小球處于共點(diǎn)力平衡，求出繩長與相關(guān)角度的關(guān)系，屬于規(guī)律的運(yùn)用，是物理觀念水平4；小球在微小擾動(dòng)下可等效成單擺模型，求出相應(yīng)擺長，考查學(xué)生建立模型解決實(shí)際問題的能力，屬于物理思維水平 。

注意到上述題于中，命題者刻意給出了“當(dāng)小球受到垂直紙面方向的擾動(dòng)做微小擺動(dòng)時(shí)，等效于懸掛點(diǎn)位于小球重垂線與 交點(diǎn)的單擺”這一條件。由于該條件的給出，此題A、B選項(xiàng)的解答過程可規(guī)避對(duì)細(xì)繩及小球的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。筆者與某校2025屆高三頭部班級(jí)的物理教師協(xié)調(diào)后，將此題選人其所在班級(jí)周測(cè)卷進(jìn)行實(shí)測(cè)，最終得分率在 8 8 % 左右（圖2）。然而，因?yàn)轭}目中這一明確告知替代學(xué)生完成了物理建模步驟，這也使得一部分學(xué)生在完成本題后進(jìn)行錯(cuò)誤歸納時(shí)，忽略了其適用條件—“滑輪”模型，部分教師在模仿本題命制此類試題時(shí)也因此產(chǎn)生了錯(cuò)誤（如浙江省新陣地教育聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考第10題）。究其原因，是一部分學(xué)生和教師未對(duì)這一近似條件的近似合理性進(jìn)行深入探究、分析釋疑，未明晰其內(nèi)涵。

由于高考試題常常作為各類練習(xí)題設(shè)計(jì)的重要參考和學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，對(duì)于題目背景及其內(nèi)涵的不準(zhǔn)確理解必定會(huì)不可避免地影響高考題在教學(xué)中的作用，且不利于學(xué)生形成準(zhǔn)確的物理概念和全面的物理認(rèn)知。因此，對(duì)于這一類橢圓擺微振動(dòng)的近似合理性問題及其內(nèi)涵進(jìn)行探究，通過有效手段明晰難題內(nèi)涵是非常必要的。

3 試題分析建模

3.1 通用模型建模

設(shè)任意時(shí)刻小球所在位置為 P 點(diǎn) ， A B 中點(diǎn)為原點(diǎn) o ，斜桿的傾角為 θ ，細(xì)繩長為 2 l 。結(jié)合本題中小球被細(xì)線穿過并懸掛這一特點(diǎn)，可知 為一定值，同時(shí)根據(jù)二次曲面相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，P 點(diǎn)一定在一個(gè)以 兩點(diǎn)為焦點(diǎn)、焦距為 2 d = 構(gòu)成的一個(gè)傾斜的橢球面上。在通用模型建模的過程中，和高考原題有所不同的是，筆者不指定小球所受微擾動(dòng)的具體方向（即微擾動(dòng)的方向任意）。

以 x 軸為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)架，將 O x y z 坐標(biāo)系變換為OXYZ坐標(biāo)系，使得坐標(biāo)軸 Y 完全落在斜桿 所在直線上。在 o X Y Z 坐標(biāo)系中，設(shè)該傾斜的橢球面方程為

考慮轉(zhuǎn)動(dòng)過程，由線性代數(shù)的知識(shí)可得，由o x y z 坐標(biāo)系變換為 o X Y Z 坐標(biāo)系所利用的旋轉(zhuǎn)矩陣 R 為[3]

從而可得兩個(gè)坐標(biāo)系下各維度坐標(biāo)的變換關(guān)系為

代人原方程，可得在 坐標(biāo)系中，該傾斜的橢球面方程為

令 x = 0 ，可得到在微擾動(dòng)下小球在紙面上振動(dòng)所屬曲線的方程。其中，平衡位置當(dāng)且僅當(dāng)在 z 取到最小值時(shí)取得，也即此時(shí)該二次方程對(duì)于 y 的判別式為0，得到平衡位置的坐標(biāo) 后，便可以計(jì)算得到此處曲率圓的曲率半徑

將 代人 o x y z 橢球面方程表達(dá)式中，得到在微擾動(dòng)下小球在垂直于紙面方向進(jìn)行振動(dòng)的軌跡所屬曲線的方程（即振動(dòng)軌跡只是該方程

3.2用Mathematica軟件探究微擾動(dòng)下小球在紙面和垂直紙面方向上的振動(dòng)軌跡

無論是在垂直紙面方向還是在紙面上，微擾動(dòng)下，小球的振動(dòng)軌跡都十分復(fù)雜多變。對(duì)于傾角 θ 不同的斜桿，其軌跡也不相同，其中也蘊(yùn)含著一些相似性。筆者利用Mathematica軟件，對(duì)這些軌跡所屬的曲線方程進(jìn)行可視化。為了兼顧圖像的展現(xiàn)力和代表性，筆者在可視化的過程中取傾角0=

打開Mathematica軟件，新建筆記本，對(duì)紙面上的振動(dòng)軌跡所屬的曲線方程進(jìn)行可視化，輸入如下命令：

1=3*1.5/Sqrt[3]

d=1.5 x=0

（204 tourStyle - gt;

其中，Table表示對(duì)參量一定方式進(jìn)行枚舉，ContourPlot表示繪制隱函數(shù)圖（等高線圖），theta，thetaValues表示參量枚舉的范圍，這里表示的枚舉集合為thetaValues，即為 如果要研究更多的角度值，則將向thetaValues集合中加入那些更多的角度值即可。隨后，選中相應(yīng)命令行內(nèi)容，選擇“計(jì)算單元”，即可作出微擾動(dòng)下小球在紙面上的振動(dòng)軌跡所屬曲線的圖像。通過Show 函數(shù)，筆者將 種情況下作出的圖像合并在一張圖中，如圖3所示。

（右側(cè)各圖例從上到下與左側(cè)各振動(dòng)軌跡所屬曲線沿 z 軸正方向從內(nèi)到外一一對(duì)應(yīng)）

從圖中可以看出，斜面傾角 θ 的改變對(duì)小球在紙面上的振動(dòng)軌跡所屬曲線僅僅產(chǎn)生了旋轉(zhuǎn)的效果，其旋轉(zhuǎn)中心為 （ y ， z ） = （ 0 ， 0 ） 。也就是說，這一簇曲線存在一外包絡(luò)線，使得所有的振動(dòng)軌跡所屬曲線都內(nèi)切于這一曲線（包絡(luò)線）。容易從圖像直觀看出的是，這一外包絡(luò)線的形狀恰為一個(gè)以 （ y ， z ） = （ 0 ， 0 ） 為圓心，橢圓的半長軸長 為半徑的圓。這一外包絡(luò)線的理論求解也可以通過對(duì)以下方程組的嚴(yán)格推導(dǎo)得到

相類似，在對(duì)垂直紙面方向上的振動(dòng)軌跡所屬的曲線方程進(jìn)行可視化操作時(shí)，仿照上述過程，新建一個(gè)筆記本，輸入如下命令即可：

同樣，通過Show 函數(shù)，筆者也將 四種情況下作出的圖像合并在一張圖中，4如圖4所示。

在圖3、圖4的繪圖過程中，為了區(qū)分一簇曲線中的每一個(gè)曲線和明示曲線所在平面的不同，筆者對(duì)ContourPlot進(jìn)行了更多參數(shù)的配置。ContourStyle- - gt; ColorData[\"Rainbow\"][theta]表示在繪圖時(shí)運(yùn)用指定顏色樣式\"Rainbow\"，并且將\"Rainbow\"樣式中的顏色以恰當(dāng)?shù)姆绞脚c不同傾角θ 值相映射。PlotLegends {Subscript[\"＼[Theta]\"，theta］表示為每條曲線的圖例給予一個(gè)下標(biāo)為對(duì)應(yīng)傾角 θ 值的標(biāo)注。Axes-gt;True，F(xiàn)rameLabel- Automatic則顯化了坐標(biāo)軸與坐標(biāo)軸的標(biāo)簽。

4通用模型對(duì)高考原題中近似的合理性 驗(yàn)證

根據(jù)高考原題中的近似條件，小球受到垂直紙面方向的擾動(dòng)做微小擺動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡所屬曲線在 P 處的曲率半徑即應(yīng)當(dāng)為如下題設(shè)模型示意圖（圖5）當(dāng)中所標(biāo)注的 h 的長度。

由圖中所示幾何關(guān)系可得

解得

據(jù)此即可得到

由于高考原題題干中指出了微擾動(dòng)垂直于紙面方向，可以認(rèn)為小球在紙面上無運(yùn)動(dòng)軌跡。由此，接下來，筆者利用在3.2中得到的在微擾動(dòng)下小球在垂直于紙面方向進(jìn)行振動(dòng)的軌跡所屬的曲線在平衡位置（即 P 處）的曲率半徑公式對(duì)上述從題設(shè)近似條件出發(fā)得到的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。將斜桿傾角 代入推導(dǎo)出的公式中，得到

這與從題設(shè)近似條件出發(fā)得到的結(jié)果不謀而合。在更一般的任意角度 θ 和小球懸掛點(diǎn)任意的條件下，運(yùn)用題設(shè)近似條件和幾何關(guān)系（圖6），也同樣可以得到與推導(dǎo)出的公式相同的結(jié)果，也即

解得

這與在3.2中得到的在微擾動(dòng)下小球在垂直于紙面方向進(jìn)行振動(dòng)的軌跡所屬的曲線在平衡位置（即 P 處）的曲率半徑公式完全一致，也證明了題干中“當(dāng)小球受到垂直紙面方向的擾動(dòng)做微小擺動(dòng)時(shí)，等效于懸掛點(diǎn)位于小球重垂線與AB交點(diǎn)的單擺”這一近似條件的合理性。

5結(jié)語

自浙江省新高考改革以來，物理選考選擇題的命題就一直秉持著“麻雀雖小，五臟俱全\"的理念，頗有特色。每一道高考題都深入考查了某一知識(shí)領(lǐng)域或某幾個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，凝聚著命題者的智慧。這些題目表面上看起來平淡無奇，實(shí)際上卻有豐富的內(nèi)涵，深入探究便可以拓展得到更一般的結(jié)論或相關(guān)結(jié)論[4]

本文對(duì)橢圓擺微振動(dòng)問題進(jìn)行了詳細(xì)的一般性理論推導(dǎo)，同時(shí)借助Mathematica數(shù)學(xué)軟件將人工難以描繪清晰的微振動(dòng)軌跡所屬曲線進(jìn)行了可視化，可視化的過程也具有很高的靈活度，能夠全參數(shù)可調(diào)。面對(duì)此類具有豐富內(nèi)涵的試題，在一般性理論推導(dǎo)的同時(shí)借助Mathematica數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行深入探究，即可為其建立起清晰的物理圖景和正確全面的認(rèn)知，從而滿載而歸。

參考文獻(xiàn)：

[1]梁丞天，蔡施彤.假借軟件工具明晰難題內(nèi)涵—以2024年1月浙江省物理選考第19題為例[J].物理教學(xué)，2024，46（8）：22-24，43.

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（欄目編輯 陳潔）