2025年普通高等學校招生全國統一考試模擬試卷數學（天津卷)

（本試卷滿分150分，考試用時120分鐘）

一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.設全集 ，集合 ， ，則

A. B. C.{3，4} D.{2，3，4，5}

2.設 a b∈R ，則“ ∣ a ∣ gt; ∣ b ∣ ”是“ a + b ≠ 0 的（ ）.

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.下列函數中既不是奇函數也不是偶函數的是（ ）.

4.已知變量 x ， y 的線性相關系數 ，變量 的線性相關系數 ，則下列說法正確的是.

A.變量 x 與 y 正相關，變量 a 與 b 負相關，變量 a 與 b 的線性相關程度較強 B.變量 x 與 y 負相關，變量 與 b 正相關，變量 與 b 的線性相關程度較強 C.變量 x 與 y 負相關，變量 a 與 b 正相關，變量 x 與 y 的線性相關程度較強 D.變量 x 與 y 正相關，變量 a 與 b 負相關，變量 x 與 y 的線性相關程度較強

5.設 ，則 的大小關系為（ ）.

A. a lt; b lt; c B". c lt; b lt; a C ".c lt; a lt; b D". b lt;" c lt; a

6.若 為兩條不同的直線， 為兩個不同的平面，則下列結論不正確的是（ ）

A.若 m / / n ， α / / β ， m ⊥ α ，則 n ⊥ β B.若 m ⊥ α ， n ⊥ α ，則 m / / n C.若 m / / α ， α / / β ，則 m / / β D.若 n ⊥ α ， m ⊥ β ， m ⊥ n ，則 α ⊥ β

7.已知函數 ，則函數 f （ x ） 在[0， 上的最小值為（ ）.

8.若正方體 的棱長為 ，則三棱錐 的體積為（ ）

9.已知拋物線y2=8x，F1，F分別是雙曲線-2 的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的一個焦點，過 作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為 H ，連接 ，點 P 滿足 平分 ，則雙曲線的標準方程為.

二、填空題（本題共6小題，每小題5分，共30分.）

10.已知i是虛數單位， a ， b ∈ R ，若 ，則 a = _

11.在 的二項展開式中，含 x 的項的系數為

12.已知圓 ，過點 P （ 2 ， 1 ） 作圓 c 的兩條切線，切點分別為 A ， B ，則線段 A B 的長度為

13.已知A，B，C三個地區爆發了流感，這三個地區分別有 3 % ， 2 % ， 1 % 的人患了流感，假設這三個地區的人口數之比為 6 ： 3 ： 1 ，現從這三個地區中任意選取一個人，這個人患流感的概率為 ;如果某人患流感，則此人來自A地區的概率為

14.在邊長為2的等邊 Δ A B C 中， ， E 為線段 C D 上的一個動點， F 為 B C 的中點.設 ，用 表示 的最小值為

，15.已知函數 若函數 恰有3個零點，則實數 k 的取值范圍為

三、解答題（本題共5小題，共75分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

16.（14分）在△ABC中，角 A ， B ， C 的對邊分別為 .已知

（1）求 b 的值；

（2）求 sin B 的值；

（3）求 cos （ 2 A + B ）的值.

17.（15分）如圖所示，在直三棱柱 中， 是 的中點， N 是 的中點.

（1）求證： M N / / 平面 （2）求直線 與平面 所成角的正弦值； （3）求點 M 到平面 的距離.

18.（15分）已知橢圓C： α+2=1（agt;bgt;O）的左、右焦點為F1，F2，左、右頂點為A，A2，上頂點為B，O為坐標原點，且

（1）求橢圓 C 的方程.

（2）直線 與橢圓 C 在第二象限相切于點 P ， l 與 x 軸 y 軸分別交于點 M ， N

（i）求 面積的最小值；

（i）若點 H 滿足 且 ，求直線 的方程.

19.（15分）已知數列 滿足 ，且 ，數列 滿足

（1）求數列 的通項公式及 ：

（2）設 ），求數列 的前 n 項和 ：

（3）在（2）的條件下，求證：

20.（16分）設函數

（1）當 k = 1 時，求曲線 y = f （ x ） 在點 （ 1 ， f （ 1 ） ）處的切線方程；

（2）若不等式 在 （ 1 ， + ∞ ） 上恒成立，求正數 k 的取值范圍；

（3）若函數 有且只有2個不同的零點 ，求證：