“抓住”角平分線實質 快速求解三角形問題

在解三角形問題中，如果已知三角形中的一個內角的平分線或能夠推出某內角的平分線，則應充分挖掘其他條件與此條件的內在關系，并“抓住\"其特點建立相關等式求解問題.本文結合典型例題介紹解三角形問題的常用解題技巧，

1“抓住”兩個角相等

例1在 Δ A B C 中，內角 A ， B ， C 的對邊分別是 ，若 Δ A B C 的三條角平分線相交于點 O ，且 的面積為 （204號 ，求 0 因為 ，且點 O 是 Δ A B C 的內心，解析所以 （20 又 ，所以

O A × O B = 1 5 .

在 中，由余弦定理得

聯立 ① 和 ② ，解得 不妨設 O A = 3 ， O B = 5 . 在 中，由余弦定理得 cos ∠ O A B = 則 又 O A 為∠ B A C 的平分線，所以sin 則 ，故

1

通過“抓住”內角平分線的性質，挖掘出內心角的大小，再在 和 中運用余弦定理和正弦定理分別建立等式求三角函數值，從而達到解題目的.

例2如圖1所示，在Δ A B C 中， ∠ A C B 的平分線CM與邊AB交于點 M ，且A M = C M = 1

（1）若 ，求S△ABC;

（2）求 的最小值.

（1）在 Δ A M C 中，因為 A M = C M = 1 ， A =

，所以 A

又 C M 是 ∠ A C B 的平分線，所以 ， 在 R tΔ C B M 中， C M = 1 ，所以 則

（2）設 A = θ ，則 ∠ B C M = ∠ A C M = θ ，故 ∠ C M B = 2 θ ， B = π - 3 θ ，所以 解得 .在

Δ C M B 中，由正弦定理得

則

當且僅當 ，即cos 20=√2-1時，等號成立.

綜上， 的最小值為

求解本題時“抓住”角平分線及等腰三角形的特點，在 Δ M B C 中挖掘出單角、復角等關系，從而用 θ 表示出 ∠ B C M ， ∠ C M B ， B ，為順利建立關于 θ 的函數式奠定基礎.

2 “抓住”平分角的兩個三角形面積關系

例3 在△ABC中， A B = 1 A C = 4 ， ∠ B A C = 為 ∠ B A C 的平分線，交邊 B C 于點 E ，求Δ A B E 的面積.

在△ABC中，因為 3，AE為∠ B A C 的平分線，所以 6則 ，即

將條件代人易得 ，故

解題時“抓住”了 A E 是一個已知角的平分線，用拆分三角形面積的方法建立等式，求出角平分線的長，這是解決問題的關鍵.

例4在△ABC中，角 所對的邊分別為a，b，c，已知 且 A ≠ B ：

（1）求角 c 的大?。?/p>

（2）若 ∠ A C B 的平分線交 于 D ，且 C D = ，求 a + 2 b 的最小值.

（1）因為 ，所以

故

又 0 lt; A lt; π ， 0 lt; B lt; π ，且 A ≠ B ，所以

則 或 π ，解得 A +

（舍）或 即 1

（2）因為 ∠ A C B 的平分線交 A B 于 D ，所以 又 ，所以 sin ，化簡整理得 ，則

當且僅當 ，即 時，等號成立，故 a + 2 b 的最小值為

求解時利用角平分線的條件建立關于 a ， b 的關系式，為后續運用均值不等式解決最小值問題創造條件.

3運用角平分線定理

例5如圖2所示，在△ABC中，已知 ∠ B A C 的平分線交邊BC于點 D 若 A B = 2 .A C = 1 ，求 A D ：

在△ABC中，由余弦定理得 A C × cos ∠ B A C = 7

所以 .因為 A D 是 ∠ B A C 的平分線，由角平分線定理得 所以 又 ∠ B D A + ∠ C D A = π ，所以

c o s∠ B D A = - c o s∠ C D A .

在 Δ A B D 和 Δ A D C 中，由余弦定理得

代人式 ① ，解得 負值舍）.

本解法運用了角平分線定理求解相關線段的長，有利于后續利用 ∠ B D A + ∠ C D A = π 的關系建立了關于 A D 的方程，進而求出 A D 的長.（完）