對教材一個公式的理解、拓展與應用

教材是知識的載體，教材中的每一道例題和習題都具有極高的價值.總覽近幾年數學高考試題，大多數試題都能在教材中找到“原型”，它們或是“原型”的變式題，或是“原型”的適度拓展引申題.因此應該重視教材例題、習題的學習與研究，尤其是對學生解題大有幫助的二級結論.基于此，本文對教材例題中的重要結論\"tanA十tanB十tan C = tan A tan B tan C ；的理解、拓展與應用進行探討.

1理解

例1在斜三角形ABC中，求證：tan

證法1由于 Δ A B C 不是直角三角形，且 A + B + C = π ，則 C = π - （ A + B ） ，所以sin C = sin （ A + B ），cos C = - cos （ A + B ） ，故

證法2因為 Δ A B C 不是直角三角形，且 A + B + C = π ，所以 A + B = π - C ，且 A ， B ， A + B 都不等于 ，故 ，所以

即 ，即tan

本題出自蘇教版普通高中教科書數學必修第二冊第66頁例4，主要依據題設中“角之間的等量關系”，結合兩角和差公式進行推導論證；結論非常具有特色，即“三數和”等于“三數積”，顯示出數學的“奇異美”與“和諧美”，因此本題是拓展和深化的極佳素材.

2拓展

由證法2可知，當 A ， B ， C 都不等于 （ k ∈ Z） 時，有tan tan A+tanB=-tanC+tan A tan B tan C ? tan A + B = k π - C ? A + B + C = k π .

由此可以得到如下命題.

命題當 A ， B ， C 都不等于 （ k ∈ Z） 時，等式tan 成立的充要條件是

3 應用

學以致用是數學學習的一個重要原則，通過應用可以加深對數學知識的理解，不斷提高分析問題與解決問題的能力，那么“tan tan A tan B tanC”這個結論有哪些應用呢？

1）用于證明三角形中的三角恒等式

例2 在銳角△ABC中，求證：

證明 在△ABC中， A + B + C = π ，則 .由題意可知 都不等于 ，故

C A B A B A B

在保證正切三角比有意義的前提下，利用三角形內角和的“等量關系”與“兩角和差正切式”推導即可.

2）用于判斷三角形形狀

例3在 Δ A B C 中，若tar 0，試判斷 Δ A B C 的形狀.

若三角形有一個角為直角，則tan A ， t a n B ，tan C 無意義，故 A ， B ， C 都不等于 ，所以

tan 因為tan ，所以

tai

若三角形有一個角為鈍角，則必有一個值為負值，故

tan A tan B tan clt;0

因此，由tan A tan B tan cgt;0 可知三個角都為銳角，則ABC為銳角三角形.

本題主要利用結論進行推導，結合解三角形的方法求解即可.

3）用于求三角形中角的正切值例4（1）在 Δ A B C 中， l：2：3，則 tan ：

A B.1 C.√2 D.3（2）在 Δ A B C 中，tan A = 1 ，tan B = 2 ，則tan C =

（1）由題意可得△ABC不是直角三角形，則 令tan A = k （ k gt; 0 ） ，則tan B = 2 k ，tan C = 3 k ，所以

，解得 k = 1 ，故選B.

（2）由題意知 Δ A B C 不是直角三角形，則

將tan A = 1 ，tan B = 2 代人，解得tan C = 3

在答題時，直接應用結論解小題（選擇題或填空題）可以起到省時省力、事半功倍的作用.

4）用于求有關三角形的最值問題

例5在銳角 Δ A B C 中，角 A ， B ， C 的對邊分別為 .若 （ b - sin C ）cos cos C ，且 a = 2 ，則 的最大值為

由 （ b - sin C cos Os C ，可得（20 b cos A = sin C cos A + sin A cos C = sin （ A + C ） = sin （ π - B ） = sin B ，

則cos A" =sin B/ b=sin A /a =sin A/"2"所以tan A = 2 ，故

由 Δ A B C 是銳角三角形可得

又 t a n "A + tan "B + tan "C =" t a n"Atan"BtanC"所以

故

tan （2號當且僅當tan 時，等號成立，則

本題考查兩角和的正弦公式、正切公式，考查誘導公式和正弦定理.求解三角函數問題時對角的認識尤其重要，觀察已知角和未知角的關系，確定選用公式，才能找到正確的解題思路.在銳角Δ A B C 中，恒有tan .tan ，這是解決本題的切入點.

（完）