立體幾何考題分析及備考建議

2024年新課標I卷與新課標Ⅱ卷在立體幾何方面的命題風格仍保持穩定，其核心考點是幾何體表面積與體積、線面關系、線面角與二面角等，試題均以學生熟悉的棱錐、棱臺、圓柱等圖形為背景，難度整體分布在高、中、低檔各個區間，既能考查學生的直觀想象、邏輯推理、空間思維等核心素養，又有一定的區分度.本文對試題進行分析，并提出幾點備考建議，

1命題導向與試題評析

1.1立足教材，考查基礎知識

隨著高考的不斷改革，高考試題與教材的聯系愈發緊密，以強調基礎知識的重要性.2024年新課標I卷與新課標Ⅱ卷多數立體幾何問題以教材例題、習題為基礎，通過改造、變形，最終形成高考題，這提醒學生在復習備考時要重視回歸教材.

例1 （2024年新課標I卷5）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為 ，則圓錐的體積為（ ）.

Ａ.2根號下 3π B .3 根號下3 π C . "6根號下3 π D ."9根號下3 π

設圓錐和圓柱的底面半徑為 r ，則圓錐的母 線長為 .因為它們的側面積相等，所以 ，即 ，解得r = 3 ，所以圓錐的體積為 ，故選B.

例2（2024年新課標Ⅱ卷17）如圖1所示，平面四邊形ABCD 中， A B = 8 ， ， ， ， ∠ B A D = ，點 E ， F 滿足 ， 將Δ A E F 沿 E F 翻折至 P E F ，使得 ·

（1）證明： E F ⊥ P D ：

（2）求平面 P C D 與平面 P B F 所成的二面角的正 弦值.

0 （1）由題意可知 解析 .在△AEF中，由余弦定理得

則 E F = 2 ，故 ， A E ⊥ E F ，所以D E ⊥ E F ·

由折疊的性質知 P E ⊥ E F .因為 P E ∩ D E = E ，P E ? 平面 P D E ， D E = 平面 P D E ，所以 E F 工平面PDE.又 P D 平面 P D E ，所以 E F ⊥ P D

（2）連接 C E ，因為 ！ C D = ，所以 又 P E = ，所以 ，故 P E ⊥ C E . 又P E ⊥ E F ， E F ∩ C E = E ， E F ? 平面 D E F ， C E C平面

D E F ，所以 P E ⊥ 平面D E F .又 平面D E F ，所以 P E ⊥ E D ，故E F ， E D ， E P 兩兩垂直.分別以 E F ， E D ， E P 為 x 軸、 y 軸、 z 軸，建立空間直角坐標系，如圖2所示.

易得 ，所以

設平面 P C D 的一個法向量為 ，則

取 ，得 ，所以

設平面 P B F （即平面 P A F ）的一個法向量為 ，則

取 ，則 ，所以 1）.設平面 P C D 與平面 P B F 所成的二面角為 α ，則 所以si

綜上，平面 P C D 與平面 P B F 所成的二面角的正弦值為

本題以平面四邊形翻轉為背景，以線的位置關系、二面角設問，考查學生對翻折的性質、勾股定理、余弦定理等知識的綜合應用能力.當立體幾何題以解答題的形式出現時，往往考查知識的綜合應用，設問方式常為位置關系、二面角問題.

1.2 考查思維能力

近年來，高考數學真題不再停留在對知識的機械考查，更加看重對學生數學思維能力的考查.因此，高考中常出現一些“高等思維、少量計算”的問題，這就需要學生多思考，綜合運用數學知識和方法分析問題和解決問題.

例3 （2024年新課標Ⅱ卷7）已知正三棱臺 的體積為 ，則 與平面 A B C 所成角的正切值為（ ）.

A. B. 1 C.2 D.3

由題意得

設正三棱臺 的高為 h .由臺體的體積公式可得

則

如圖3所示，分別取上、下底面的中心 ，連接 ，已知 上底面ABC.過點 作底面的垂線，垂足為 M ，易知 ，則

由正三棱臺的結構特征可得 ，所以tar ，故選B.

本題以三棱臺為背景，求解線面角問題，主要考查學生的邏輯推理能力、計算能力.解題時首先要構建準確的空間模型，繪制符合題意的圖像，而后分析其中存在的數量關系，此過程往往需要借助輔助線.

2復習備考策略

2.1立足教材，打牢基礎

對高考真題進行分析可以發現，試題對書本知識的考查愈發頻繁，立足于基礎知識，考查學生數學核心素養.棱臺的體積問題、圓錐類問題等在教材必修課程中均有所涉及.因此，學生在復習備考中應立足教材、回歸教材、吃透教材，熟練掌握教材的例題與習題

2.2 開展專項訓練

高考是對相關知識的綜合考查，學生在復習備考中應重視知識的整體框架與相互聯系，以此加深對相關知識的理解，提升解題效率.尤其在解答題中，其所設置的問題較為統一，如位置關系、二面角等，但涉及勾股定理、正（余）弦定理、位置關系的判斷、二面角性質等諸多知識.因此，學生可以通過專題訓練，在提升解題效率的同時，促進知識體系的構建，

2.3培養學生思維素養

近年來，高考對學生各類素養的考查愈發突出.求解立體幾何問題，需要學生擁有較強的空間想象能力和邏輯推理能力.此外，解題中常用到的割補法、垂面法等，同樣需要學生具備較強的空間想象能力.

（完）