需要重視的命題新動(dòng)向

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》雖未明確指出對(duì)反函數(shù)的考查要求，但從教材內(nèi)容來(lái)看，對(duì)于反函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生需要掌握函數(shù) y = 與 互為反函數(shù)以及反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域等知識(shí).教材配套的習(xí)題也對(duì)這些知識(shí)進(jìn)行了練習(xí)鞏固.

如果僅從人教A版普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第134頁(yè)關(guān)于反函數(shù)的敘述和習(xí)題來(lái)判斷，認(rèn)為反函數(shù)的考試要求很低，那就錯(cuò)了.

從教材第135頁(yè)探究與發(fā)現(xiàn)可以看出，教材體現(xiàn)了學(xué)生自主探究與學(xué)習(xí)反函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，比如，反函數(shù)與原函數(shù)的圖像間的關(guān)系，圖像關(guān)于直線(xiàn) y = x 對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，函數(shù) 與 與函數(shù) y = x 之間的關(guān)系等，這為考試創(chuàng)設(shè)了命題空間.

近年來(lái)，圍繞反函數(shù)的試題在單選題、多選題、填空題、解答題中均有體現(xiàn)，在高考和各地模擬考試中大多數(shù)試題沒(méi)有明確提及反函數(shù)，但以反函數(shù)為背景的試題成為命題熱點(diǎn).導(dǎo)數(shù)部分常涉及函數(shù) ， 或它們的復(fù)合函數(shù)，所以命題者熱衷于將反函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合來(lái)命制相關(guān)試題，以此考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).下面以近幾年的高考題與模擬試題為例分析反函數(shù)的命題動(dòng)向.

1與反函數(shù)有關(guān)的求值問(wèn)題

例1已知函數(shù) 的零點(diǎn) 為 ，若 ，則 k 的值是 ； 若函數(shù) 的零點(diǎn)為 ，則 的 值是

易知 f （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 上是增函數(shù)，且 f （ 1 ） = ，則 f （ 1 ） f （ 2 ） lt; 0，故 ，所以 k = 1 . 又

而 ，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù) 的圖像，如圖1所示.易知 關(guān)于直線(xiàn) y = x 對(duì)稱(chēng)，并且 y = 2 - x 與 y = x 垂直，交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），所以

點(diǎn)本題給定兩個(gè)函數(shù)，但并沒(méi)有直接指明它們互為反函數(shù)，需要深入分析、提取反函數(shù)信息助力解題.與反函數(shù)有關(guān)的求值問(wèn)題常以導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)與方程、不等式等形式出現(xiàn)，要求求 的值.因此，遇到同底的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題時(shí)，有意識(shí)地利用反函數(shù)的性質(zhì)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化可能會(huì)收獲事半功倍的效果.

2 原函數(shù)與反函數(shù)的圖像間的關(guān)系問(wèn)題

例2若直線(xiàn) 與曲線(xiàn) 相 切，直線(xiàn) 與曲線(xiàn) 相切，則 的值為（ ）.

A.1 B.e

注意到兩條直線(xiàn)都過(guò)定點(diǎn) （ - 1 ， - 1 ） ，該點(diǎn)在直線(xiàn) y = x 上，曲線(xiàn) 與曲線(xiàn) 關(guān)于直線(xiàn) y = x 對(duì)稱(chēng)，所以這兩條切線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn) y = x 對(duì)稱(chēng)，則這兩條切線(xiàn)的傾斜角互余，于是 ，故選A.

利用原函數(shù)與反函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性，分析得出直線(xiàn) 與直線(xiàn)

1）—1都過(guò)定點(diǎn) （ - 1 ， - 1 ） ，且定點(diǎn)在直線(xiàn) y = x 上，從而找出兩條切線(xiàn)傾斜角的關(guān)系，大大減少了運(yùn)算量，這是命題人刻意設(shè)置的考查反函數(shù)性質(zhì)的試題.如果從導(dǎo)數(shù)角度求切線(xiàn)的方程，再找等量關(guān)系就落入了命題人設(shè)置的俗套，計(jì)算量會(huì)比較大.由原函數(shù)與反函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性，原函數(shù)與反函數(shù)的交點(diǎn)要么在直線(xiàn) y = x 上，要么關(guān)于 y = x 對(duì)稱(chēng).

例3若 （ a gt; 0 且 a ≠ 1 ）恒成立，則 a 的取值范圍是（ ）.

A. （0，1） B. （ 1 ， + ∞ ）

C.

O 當(dāng) agt;1 時(shí)，因?yàn)? 與 互為反解析 函數(shù)，所以問(wèn)題等價(jià)于 在 （ 0 ， + ∞ ） 上恒成立.

構(gòu)造函數(shù) ，則 f （ x ） 在（0， ）上單調(diào)遞減，在（loga In a 上單調(diào)遞增，故 ，解得 ：

當(dāng) 0＜ａ＜1，不符合題意.

綜上，選C.

抓住 與 互為反函數(shù)的圖像特征，可知當(dāng)0＜ａ＜1時(shí)， 的臨界情況是這兩個(gè)函數(shù)都與y = x 相切，則可將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 在 （ 0 ， + ∞ ） 上恒成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)求解，也可同時(shí)取對(duì)數(shù)，再進(jìn)行參變分離，使問(wèn)題迎刃而解，這體現(xiàn)了多想少算的命題思想.1）若 f （ x ） 與 g （ x ） 互為反函數(shù)且 f （ x ） gt; g （ x ） 恒成立，則 恒成立，這其實(shí)用到了導(dǎo)數(shù)中的切線(xiàn)放縮.2）深入研究發(fā)現(xiàn) 與 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況如下：當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 與 的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)，函數(shù) y = 與 的圖像有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 與 的圖像沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 與 的圖像有三個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 與 的圖像有一個(gè)交點(diǎn).近幾年很多試題本質(zhì)上就是考這兩個(gè)基本結(jié)論.

例4設(shè) P 為曲線(xiàn) 上的動(dòng)點(diǎn)， Q 為曲線(xiàn) 上的動(dòng)點(diǎn)，則稱(chēng) ∣ P Q ∣ 的最小值為曲線(xiàn) 之間的距離，記作 .若 ： l n x + ，則

O 曲線(xiàn) 分別是函數(shù) 這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，所以它們的圖像關(guān)于直線(xiàn)y = x 對(duì)稱(chēng)，則 ，其中 d 為曲線(xiàn) 上的動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn) y = x 的距離.

設(shè)與直線(xiàn) y = x 平行的直線(xiàn)切曲線(xiàn) 于點(diǎn) M .由 2，可得y'=2 ，切點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 （ l n 2 ， 1 ） ，點(diǎn) M 到直線(xiàn) y = x 的距離就是 ，所以

故

利用原函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn) y = x 對(duì)稱(chēng)，將曲線(xiàn) 之間的距離 轉(zhuǎn)化為曲線(xiàn) 上的動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn) y = x 的距離的2倍，大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程.互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖像上兩動(dòng)點(diǎn)間距離的最小值問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為其中一動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn) y = x 的距離的2倍.

3原函數(shù)、反函數(shù)與函數(shù) y= x 的關(guān)系問(wèn)題

例5若不等式 在 x ∈ （ 1 ， + ∞ ）上恒成立，則 的最小值為（ ）.

A. （20 B.e C.e-1 D.e2

0 注意到 與 互為反函數(shù)，且 是凸函數(shù)，所以

分離參數(shù)得 在 x ∈ （ 1 ， + ∞ ）上恒成立，易得 恒成立，所以 .又 m gt; 0 ，所以 的最小值為 ，故選A.

例6（2020年山東卷21，節(jié)選）已知函數(shù) .若 f （ x ）?1 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

由 f （ x ）?1 ，可得 因?yàn)?y = （20 與 互為反函數(shù)，所以這兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn) y = x 對(duì)稱(chēng)，則

即 在 （ 0 ， + ∞ 上恒成立.令 0），則 g （ x ）在 （ 1 ， + ∞ ） 上單調(diào)遞減，則 ，故實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 [ 1 ， + ∞ ） L

利用反函數(shù)、原函數(shù)與函數(shù) y = x 的關(guān)系將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，思路清晰明了，但是對(duì)考生的觀察分析和數(shù)據(jù)處理能力要求極高.

4與反函數(shù)有關(guān)的綜合問(wèn)題

例7 （多選題）已知 ， 則（ ）.

A. B. C. D.2agt;e1-↓

對(duì)于A，因?yàn)? 與 解析與 互為反函數(shù)，所以 1 lt; b ，則 ，故A正確.

對(duì)于B，若 ，則 .因?yàn)? 是增函數(shù)，且 a lt; 1 lt; b ，所以 不可能成立，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C，因?yàn)? ，所以 ，則 1+1gt;e2，這與e2≥+1矛盾，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D，因?yàn)? （當(dāng)且僅當(dāng) x = 1 時(shí)，等號(hào)成立），且 bgt;1 ，所以 ，故D正確.綜上，選AD.

例8 （多選題）已知函數(shù) 的圖像與 y = 的圖像相交于 A ， B 兩點(diǎn)，與函數(shù) 的圖像相交于 C， D 兩點(diǎn)，若 A ， B ， C ， D 四點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 ，且 ，則下列結(jié)論正確的有（ ）.

A. C. D 如圖2所示，因?yàn)? 與 互為反函數(shù)，且 的反函數(shù)是其本身，所以點(diǎn) A 與 C， B 與 D 關(guān)于直線(xiàn) y = x 對(duì)稱(chēng)，則 ， ，故選項(xiàng)C、選項(xiàng)B與選項(xiàng)A是等價(jià)的.

設(shè)函數(shù) 由題意可知 因?yàn)?/p>

所以 都是 f （ x ） 的零點(diǎn).又 在 （ - ∞ ， 1 ） ， （ 1 ， + ∞ ） 上單調(diào)遞增，所以 ，即 且 ，因此 ，故D錯(cuò)誤.

綜上，選ABC.

點(diǎn)在多選題中結(jié)合等式、不等式、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的圖像特征等知識(shí)綜合考查反函數(shù)，可以培養(yǎng)學(xué)生信息提取、思維轉(zhuǎn)化、綜合分析等能力.這類(lèi)題符合近年來(lái)實(shí)現(xiàn)高考由“以綱定考”到“考教銜接”的方針.因此，筆者認(rèn)為求解這類(lèi)題不應(yīng)只注重技巧，還應(yīng)把握問(wèn)題本質(zhì)，弄透教材中的概念.

反函數(shù)知識(shí)本身不難，但是與反函數(shù)相關(guān)的知識(shí)豐富多彩，因此近年來(lái)命題者常常以反函數(shù)為載體綜合其他知識(shí)命制試題.反函數(shù)是熱門(mén)考點(diǎn)，近年來(lái)從顯性考查逐步向隱性考查過(guò)渡，學(xué)生在做題時(shí)應(yīng)學(xué)會(huì)利用原函數(shù)與反函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則具有互逆性、原函數(shù)與反函數(shù)的定義域與值域具有互逆性、原函數(shù)與反函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性具有一致性、原函數(shù)與反函數(shù)的圖像具有對(duì)稱(chēng)性等來(lái)轉(zhuǎn)化問(wèn)題.在學(xué)習(xí)反函數(shù)時(shí)，結(jié)合反函數(shù)的概念、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)、互為反函數(shù)的函數(shù)圖像關(guān)系適當(dāng)拓展知識(shí)面，同時(shí)注重從表面看似與反函數(shù)無(wú)關(guān)的試題中提取反函數(shù)信息是十分必要的.在解題中，若能正確把握反函數(shù)的實(shí)質(zhì)，靈活運(yùn)用原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系，有時(shí)可達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，進(jìn)而提高解題的速度和準(zhǔn)確性.

（完）