探究三角形兩邊比值的取值范圍

1 引例

題目在△ABC中，角 A ， B ， C 的對邊分別為 ，且 B C 邊上的高為 a，則 的最大值為（ ）.

A.8 B.6 C.32 D.4

解析 因為 B C 邊上的高為 ，所以

則 .由余弦定理得

整理得

即 .因為 A ∈ （ 0 ， π ） ，所以 A + 當 即 時， 4 sin （ A + 取得最大值4，所以 的最大值為4，故選D.

2分析解答，提出問題

本題的解答通過面積公式和余弦定理構造出所要求的結論，將所要求的結論轉化為用三角形某個角的三角函數表示，并根據角的取值范圍求解三角函數的最值，構思巧妙，解法簡捷，對學生的思維要求較高.那么能否用其他方法求解問題？對于本題，由于與具有倒數的特征，那么是否能構造對勾函數，將原問題轉化為求解對勾函數的最值？基于上述想法，需要尋求 的取值范圍.

3 觀察圖形，猜想假設

分析題意，已知角A的對邊 B C = a 及 B C 邊上的高為 ，要求 的取值范圍.由于三角形的邊 BC和邊上的高均為定值，據此可知三角形的面積是定值，那么頂點 A 的位置就會在與邊 B C 平行且兩平行線間的距離為 的直線 l 上運動.現以BC所在直線為 x 軸， B C 的垂直平分線為 y 軸，建立如圖1所示的平面直角坐標系，則當點 A 落在 y 軸時， A B = A C ，b = c ，即 ;當點 A 在直線 l 上且向 x 軸負方向運動時， b gt; c ，即 ;當點 A 在直線 l 上且向 x 軸負方向運動到距離 y 軸無窮遠時， 且趨近于1.猜想當點 A 往 x 軸負方向移動時， 可能存在最大值.當點 A 在直線 l 上向 x 軸正方向運動時，同樣可以發現 ，即 ；當點 A 在直線 上向 x 軸正方向運動且距離 y 軸無窮遠時， 并不是趨近于0而是趨近于1，同樣可猜想 具有最小值.

4數學實驗，驗證猜想

對于猜想，可利用數學實驗進行驗證，在圖2上，當點 A 在直線l上向左或向右運動時， 的數值變化情況如圖3所示，通過圖像可以發現 的變化規律.當第三邊與其邊上的高為定值時，以點 A 的橫坐標為自變量 x 的函數值隨 x 的變化圖像，從中能夠很清楚地看到函數的單調性以及存在極大值和極小值的情況.

5 實證檢驗，實踐運用

5.1 驗證猜想

為確定 的取值范圍，用坐標法求解，以BC所在直線為 x 軸、 B C 的中垂線為 y 軸，建立平面直角坐標系.不妨設 （204號 ， ，且a gt; 0

當 m = 0 時， 當 m ≠ 0 時，有

當 m lt; 0 時，有

所以

當且僅當 即 時，等號成立.

當 mgt;0 時，有

所以

當且僅當 即 時，等號成立，所以

今 ，則 當 t = 1 ，即 b = c 時， ；當 或 時， ，所以 的最大值為4，故選D.

5.2 一般化問題

反思并提出新問題：在三角形中，若已知一條邊和這一條邊上的高，是否也能得到另外兩條邊比值的取值范圍？

以BC所在直線為 x 軸、 . B C 的中垂線為 y 軸，建立平面直角坐標系.不妨設 ，且 a gt; 0

當 m = 0 時，

當 m ≠ 0 時，有

當 mlt;0 時，有

當 mgt;0 時，有

因此，""的取值范圍為

數學探究是數學學習的重要方式，本文以探究三角形兩邊比值的取值范圍為切入點，通過觀察發現、提出猜想、理論實證等一系列探究活動，得到了“已知三角形的一條邊以及這條邊上的高，可確定該三角形另外兩條邊比值的取值范圍\"的結論.這是一個有趣、優美的公式，它不僅讓學生感受了數學的美，更能激發學生探究學習的欲望，獲得數學學習的成就感.期望本文的探究實踐，能為師生數學學習與探究提供一定的借鑒與啟示.

（完）