2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試卷數(shù)學(xué)(北京卷)

（本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）

一、選擇題（本題共10 小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合 ，則 ：

A. （ - 2 ， 0 ） B.（0，2） C.（-2，3） D.（2，3）

2.復(fù)數(shù) （i是虛數(shù)單位）的虛部是（ ）.

3.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且值域?yàn)? 的是（ ）.

4.已知向量 ，其中 ，且 （ a - b ） ⊥ a ，則向量 和 的夾角是（ ）.

5.在平面直角坐標(biāo)系 x O y 中，角 α 以 O x 為始邊，終邊位于第一象限，且與單位圓交于點(diǎn) P ， P M ⊥ x 軸，垂足為M 若樓 的面積為 ，則 sin （2

6.若圓 上存在點(diǎn) P ，直線 l ： y = k （ x + 2 ） 上存在點(diǎn) Q ，使得 ，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為.

7.設(shè) 是公比為 的無(wú)窮等比數(shù)列， 為其前 n 項(xiàng)和， ，則“ q gt; 0 ”是“ 存在最小值”的.

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

8.充電電池是電動(dòng)汽車的核心部件之一，如何提高充電速度是電池制造商重點(diǎn)關(guān)注的問(wèn)題.已知電池充入的電量 E （單位： kW h 與充電時(shí)間 （單位： 滿足函數(shù) ，其中 M 表示電池的容量， k 表示電池的充電效率.研究人員對(duì)A，B兩個(gè)型號(hào)的電池進(jìn)行充電測(cè)試，電池A的容量為 ，充電 3 0 m i n 充入了 的電量；電池B的容量為 ，充電 1 5 m i n 充入了 的電量.電池A的充電效率為 ，電池B的充電效率為 ，則.

A. （20 B. （204號(hào) C. （204號(hào) D. 大小關(guān)系無(wú)法確定

9.已知 a gt; 0 ， b ∈ R ，若關(guān)于 x 的不等式 在 （ 0 ， + ∞ ）上恒成立，則 的最小值是.

A.4 B. C.8 D.

10.如圖所示，在直三棱柱 中， ，設(shè) M ， N ， P 分別為棱 上的動(dòng)點(diǎn)，滿足 上平面 C P N ，在Δ C P N 中，過(guò) P 作 P Q ⊥ C N 于點(diǎn) Q .下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（ ）.

① 若 M 與 A 重合，則 P 為 的中點(diǎn)；

②Δ C P N 不可能為銳角三角形；

③ （2號(hào) P Q 與 A B 所成角始終為 ：

④ 線段 P Q 在空間中掃過(guò)一個(gè)面積為2的平面區(qū)域

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

二、填空題（本題共5小題，每小題5分，共25分.）

11. 展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為

12.已知拋物線 c 的焦點(diǎn)為 F ，點(diǎn) M 在拋物線 C 上，且 ，則點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)為 ；點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， Δ M O F 的面積為

13.已知雙曲線 的兩條漸近線均與圓 相切，則該雙曲線離心率為

14.已知函數(shù)f（x）={ 若 f （ x ） 無(wú)最大值，則實(shí)數(shù) a 的一個(gè)取值為 ；若 f （ x ） 存在最大值，則 a 的取值范圍是

15.設(shè) n 是正整數(shù)，且 n?2 ，數(shù)列 滿足 （2 （ k = 1 ， 2 ， ? s ， n ） ，數(shù)列 的前 k 項(xiàng)和為 ，給出下列四個(gè)結(jié)論：

① 數(shù)列 為單調(diào)遞增數(shù)列，且各項(xiàng)均為正數(shù)； ② 數(shù)列 為單調(diào)遞增數(shù)列，且各項(xiàng)均為正數(shù)； ③ 對(duì)任意正整數(shù) ④ 對(duì)任意正整數(shù) 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

三、解答題（本題共6小題，共85分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）

16.（13分）在△ABC中，角 A ， B ， C 所對(duì)的邊分別為 ，且 cos

（1）求 A 的大小.（2）再?gòu)臈l件 ① 、條件 ② 、條件 ③ 這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得 Δ A B C 存在且唯一確定，求BC邊上高線的長(zhǎng).條件①：cos B=3√21 條件 ② （204 ：條件 ：

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分;如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.（14分）如圖所示，四邊形 A B C D 是矩形， P A 工平面ABCD， D E 工平面 A B C D ， A B = D E = 1 A A D = P A = 2 ，點(diǎn) F 在棱 P A 上.

（1）求證： B F / / 平面 C D E ：

（2）求二面角C-PE-A的余弦值；

（3）若點(diǎn) F 到平面 P C E 的距離為 ，求線段 A F 的長(zhǎng).

18.（13分）近年中國(guó)新能源汽車進(jìn)人高速發(fā)展時(shí)期，2024年中國(guó)新能源汽車銷售量已超過(guò)1100萬(wàn)輛，繼續(xù)領(lǐng)跑全球.某市場(chǎng)部為了解廣大消費(fèi)者購(gòu)買新能源汽車和燃油汽車的情況，從某市眾多4S店中任意抽取8個(gè)作為樣本，對(duì)其在12月份的新能源汽車、燃油汽車銷售量（單位：輛）進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.

（1）若從該市眾多門店中隨機(jī)抽取1個(gè)，估計(jì)該門店12月份新能源汽車銷售量超過(guò)燃油汽車銷售量的概率；

（2）若從樣本門店中隨機(jī)抽取3個(gè)，其中12月份新能源汽車銷售量不低于 20輛的門店個(gè)數(shù)記為 X ，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）記新能源汽車銷售量和燃油汽車銷售量的樣本方差分別為 和 ，試比較 和 的大小（結(jié)論不要求證明）.

19.（15分）已知橢圓 E 的左頂點(diǎn)為 A （ - 2 ， 0 ） ，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

（1）求橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程及其離心率； （2）設(shè)過(guò)點(diǎn) P （ - 2 ， 1 ） 的直線交 E 于 M ， N 兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) M 且平行于 y 軸的直線與線段 A B 交于點(diǎn) T ，點(diǎn) H 滿足 ，證明：直線 H N 過(guò)定點(diǎn).

20.（15分）已知函數(shù) ，且 f （ x ） 在 x = 1 處取得極大值1.

（1）求 b 和 的值；

（2）當(dāng) x ∈ [ 1 ， + ∞ ） 時(shí)，曲線 y = f （ x ） 在曲線 y = g （ x ） 的上方，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍；

（3）設(shè) k = 1 ，證明：存在兩條與曲線 y = f （ x ） 和 都相切的直線.

21.（15分）設(shè)集合 ，其中 是正整數(shù)，記 .對(duì)于 （ ，若存在整數(shù) k ，滿足 ，則稱 整除 ，設(shè) 是滿足 整除 的數(shù)對(duì)（20 （ i ， j ） C （ i lt; j ） 的個(gè)數(shù).

（1）若 ，寫(xiě)出 的值；

（2）求 的最大值；

（3）設(shè) A 中最小的元素為 a ，求使得 取到最大值時(shí)的所有集合 A