正態分布問題的重點題型及求解對策

正態分布問題是概率統計中比較重要的組成部分，由于其自身的特點以及在實際生活中應用廣泛，已越來越受到高考命題專家的青睞.為確保全面掌握題型變化并實現解題過程的完整性，有必要深入剖析其核心題型特征并構建系統化解題策略.基于此，本文系統梳理該類問題的重點題型，精準定位高頻考點.

1熟悉正態曲線

例1 圖1是三個正態分布密度函數 的圖像，下列結論中正確的是（ ）.

A. （204號 B. C. D. （204號

因為正態曲線關于直線 x = μ 對稱，且 μ 越解析 大圖像越靠近右邊，所以 ，則B和C錯誤.又 σ 越小數據越集中，圖像越“瘦高”，所以 ，故A錯誤.

綜上，選D.

對正態分布密度函數圖像的認識是研究正態分布問題的基礎，因此正確理解其中相關參數的意義十分重要.

例2 已知某正態分布的分布密度函數為 ，若 X 服從該正態分布，則 X 在[1，4]內取值的概率為 （參考數據：若 ，則 P （ μ - 3 σ ? X ? μ + 3 σ ） ≈ 0.997 3）.

因為分布密度函數為 φ （ x ） = -2（x-2.5）2，所以 X～N（2.5，0.25），則

P （ 1?X?4 ） =

，故所求的概率值為0.9973.

本題是正態分布問題的基礎題目，解題的關鍵是從密度函數中讀出

2夯實正態分布的性質

例3已知某次測量的數據 X 服從正態分布 ，如果 X 在 （ 0 ， 1 ） 內取值的概率為0.4，求 X 在（0，2）內取值的概率.

由于 ，故其對應的密度曲線的圖像關于直線 x = 1 對稱.又 P （ 0 lt; X lt; 1 ） =0.4，所以 P （ 1

P （ 0 lt; X lt; 2 ） = P （ 0 lt; X lt; 1 ） + P （ 1 ? X lt; 2 ） = （2求解本題用到 X 的密度曲線圖像關于直線x = 1 對稱以及概率的可加性.

例4公共汽車車門的高度設計規則是：確保9 9 % 以上的成年男子頭部不能與車門頂部碰撞.已知某區域的成年男子身高服從 （單位：c m） ，試問此處的車門應設計為多高（精確到 1c m ？

設該區域的公共汽車車門最低高度為 x cm.根據題意可知 P （ X ） ? x ） lt; 1 % . 因為 X ～ ，所以

P （ X ≥ x ） = 1 - P （ X lt; x ） =

則 ，查表可得 ，解得 x gt; 1 8 9 . 3 1 ，故該區域公共汽車車門應至少設計為 1 9 0 c m ，才能滿足 9 9 % 以上的成年男子頭部不與車門頂部碰撞的要求.

本題是非標準正態分布問題，利用公式轉化為標準正態分布是解題的關鍵.

3掌握 原則的應用

假設 ，則

P （ μ-2 σ?X?μ+2 σ ）≈0 . 9 5 4 5 ，

例5公司規定某圓柱形零件的外直徑 X 應該服從正態分布 ，質檢人員從該廠生產的1000件零件中隨機抽查1件，測得它的外直徑為5 . 7c m ，請問該廠生產的零件是否合格？

要判斷某批零件是否合格，根據檢驗規則可知只需隨機抽查1件產品看其尺寸是否落在 （ μ - 3 σ ， μ + 3 σ ） 之內，若是，則合格；若不是，則不合格.因為圓柱形零件的外直徑 ，所以 X 在 （ 4 - 3 × 0 . 5 ， 4 + 3 × 0 . 5 ） 之外取值的概率只有0.0027，而抽查出的1件產品的外直徑 5 . 7 ∈ （ 2 . 5 ，5.5），說明在一次實驗中出現了幾乎不可能發生的小概率事件，由此可判定這批零件不合格.

判斷某批零件是否合格，需遵照約定的檢驗規則看隨機抽查的零件是否滿足 3 σ 原則.

一例6在一次數學測驗中，某班學生的分數 X 服從正態分布 ，且滿分為150分，這個班共有54名學生，估計這個班在這次數學測驗中及格（不少于90分）的人數和130分以上的人數.

因為 ，所以 μ = 1 1 0 ， σ = 20，則

P （ 9 0?X?1 3 0 ） =

又

P （ Xgt;1 3 0 ） + P （ Xlt;9 0 ） = 1 - P （ 9 0?X?1 3 0 ） ，

所以

P （ X?9 0 ） = P （ Xgt;1 3 0 ） + P （ 9 0?X?1 3 0 ） ≈

0 . 1 5 8 7 + 0 . 6 8 2 7 = 0 . 8 4 1 4

則此班級及格的人數為 人，130分以上人數約為 5 4 × 0 . 1 5 8 7 ≈ 9 人.

解題時可通過分析總體密度曲線的特征，并結合已知概率求解三個特殊區間概率的值，關鍵是把握 3 σ 原則的應用.

例7已知隨機變量 ，隨著σ 的增大，則概率 P （ ∣ X - μ ∣ lt; 2 σ ） 的值（ ）.

A.保持不變 B.單調減小C.單調增大 D.增減性不確定

由題意可知

P （ ∣ X - μ ∣ lt; 2 σ ） =

P （ μ-2 σ

所以選A.

點 評

根據正態分布的 3 σ 原則，可知隨機變量 X 分布在 （ μ - 2 σ ， μ + 2 σ ） 中的概率約為0.9545.

4理解與其他知識的交會

例8 已知隨機變量 ，且滿足P （ X?1 ） = P （ X ? a - 3 ） ，則 的最小值為

因為隨機變量 ，且 P （ X?1 ） = P （ X?a - 3 ） ，所以 1 + a - 3 = 2 × 1 ，解得a = 4 ，則 0 lt; x lt; 4 ， 0 lt; 4 - x lt; 4 ，且

當且僅當 即 x = 1 （負值舍）時，等號成立，所以 的最小值為4.

本題是正態分布條件下的最小值問題，熟練運用正態分布的相關性質是解題的關鍵，

處理正態分布問題的對策就是依據所給信息，挖掘題目的特點，靈活運用正態分布的相關性質.在日常復習訓練過程中，只有注重對思維方法的總結以及解題經驗的積累，才能在后續考試中從容應對.

（完）