例談柯西不等式在高中數學解題中的應用

（人教A版普通高中教科書數學必修第二冊習題6.3第16題）用向量方法證明：對于任意的 ，d ∈ R ，恒有不等式

上述習題中的不等式

是二維柯西不等式.柯西不等式是高中數學中的經典不等式之一，也是高中數學不等式版塊的必備知識.n 維柯西不等式：對于任意的實數 及 ，有

當且僅當存在常數 λ 使得 時，等號成立.高考中也經常考查二維柯西不等式和三維柯西不等式的應用，以下結合具體例子總結二維柯西不等式和三維柯西不等式在高中數學解題中的應用，

1利用柯西不等式求最值

在解答無理雙根函數最值和多元條件最值問題時，靈活運用柯西不等式可以達到有效簡化運算量的目的.

例1求 的最大值.

O 為使函數有意義，則 所以函數的定義域為[4，5]，且 ygt;0

由柯西不等式可得

當且僅當 ，即 時，等號成立，故函數 的最大值為2.

點本題反向運用了二維柯西不等式“若 d 都是實數，則 ，當且僅當 時，等號成立”求解.根據題中的數值特征，將函數解析式中的 轉化為 的過程中運用了巧拆常數的技巧.

例2若正數 滿足 2 m + n = 6 ，則 的最小值為由柯西不等式可得

所以

則 當且僅當 且2 m + n = 6 ，即 時，等號成立，故 的最小值為

本題先改變 的形態結構，再巧嵌結果為定值的因式 ，進而運用二維柯西不等式解答.

例3 已知函數 f （ x ） = ∣ x - 1 ∣ + ∣ x - 2 ∣

（1）求不等式 f （ x ） lt; 3 的解集；

（2）若 f （ x ） 的最小值為 a + 3 b ，求 的最 小值.

（1）當 xlt;1 時， f （ x ） = 3 - 2 x ，則 3 - 2 x lt; 3，所以 0

當 1 ? x ? 2 時， f （ x ） = 1 ，則 1 lt; 3 ，所以 1 ? （204號 x?2

當 x gt; 2 時， f （ x ） = 2 x - 3 ，則 2 x - 3 lt; 3 ，所以2

綜上，不等式 f （ x ） lt; 3 的解集為（0，3）.

（2）易知

當且僅當 （ x - 1 ） （ x - 2 ） ? 0 ，即 1?x?2 時，等號成立，所以 a + 3 b = 1 由柯西不等式可得

所以 當且僅當 b = 3 a ， a + 3 b = 1 ，即 a = 時，等號成立，故 的最小值為 中

本題第（1）問考查絕對值不等式的解法；第（2）問考查二維柯西不等式的應用，運用巧嵌因式的技巧，嵌入因式 后可求出 的最小值.

例4 （多選題）已知 a gt; 0 ， b gt; 0 ，且 2 a + 3 b = 2 ，則下列說法正確的有（ ）.

A 的最小值為 B. 的最小值為 C. 的最大值為 D. 的最小值為

對于選項A，由柯西不等式可得

則

所以 ，當且僅當 2，即 時，等號成立，所以 的最小值為 ，故A正確.

對于選項B，由柯西不等式可得

則 ，當且僅當 3 a = 2 b ， 2 a + 3 b = 2 ，即 a = 時，等號成立，所以 的最小值為 故B正確.

對于選項C，由柯西不等式可得

（204號當且僅當 2 a = 3 b + 1 ， 2 a + 3 b = 2 ，即 時，等號成立，所以 的最大值為 ，故C正確.

對于選項D，由柯西不等式可得

所以 ，則

當且僅當 b = 4 a ， 2 a + 3 b = 2 ，即

時，等號成立，所以 的最小

值為 ，故D錯誤.綜上，選ABC.

本題考查了二維柯西不等式的運用，對于選項A，巧添和為定值的因式 ，將 的結構巧變為

對于選項B，巧添因式 .選項C中蘊含結構 選項D的解答巧嵌和為定值的因式 ，同時將 變形為

例5求函數 的值域.

0 令 ，則 sin θ - t cos θ = 2 t .由柯西不等式可得

所以 ，解得 故函數 f （ θ ） 的值域為

點本題是一道求三角函數值域的問題，令 θ=t，引入了參數t，將分式化為整式，體現了巧設待定參數和巧變結構技巧的運用.

例6已知 x ， y ， z 滿足 x + y + z = 1 ，求 的最小值.

一 由柯西不等式可得

，即

當且僅當 x = 4 y = 9 z ， x + y + z = 1 ，即 x = 49'

時，等號成立，故 的

最小值為 中

本題的求解運用了三維柯西不等式 以及巧嵌因式的技巧.

2用柯西不等式解方程

運用柯西不等式解方程或方程組，本質是根據柯 西不等式取等的條件求得方程或方程組的解.

例7 已知 ，求tan α 的值.

由柯西不等式可得

即 ，當且僅當-3sin α = cos α ，即tan 時，等號成立.

本題是一道根據三角函數方程求正切值的問題，求解中運用了巧嵌因式的技巧以及柯西不等式取等的條件.

例8若 為實數， ，則

0 由柯西不等式可得 解析 .由柯西不等式取等條

件可得 ，則 =k，將p=

k r ， q = k s ， m = k t 代人 p r + q s + m t = 6 ，可得 E

，所以 ，故：

本題是解方程問題，利用了三維柯西不等式取等號條件，最終求出 p+q+m的值.

3 利用柯西不等式證明不等式

例9已知

（1）求證： a + b ? 4 （2）求證：

證明 （1）由柯西不等式可得 ，所以 ，則 a + b ? 4 ，當且僅當 a = b = 2 時，等號成立.

（2）由柯西不等式可得

所以 ，即 ，當且僅當 ，即 時，等號成立.

本題是條件不等式的證明問題，第（1）問的證明反向運用了二維柯西不等式；第（2）問巧嵌因式 ，先利用柯西不等式證明 2，再利用不等式的性質進行證明.

例10已知 都為正數，且 a + b + c = 3 ，證明：

證明 由柯西不等式可得

所以 ，則 （204號

當且僅當

即 a = b = c = 1 時，等號成立.

點求解本題時綜合運用巧嵌因式、巧拆常數和巧變結構的技巧，為逆向運用三維柯西不等造條件.

例11已知 都是正數，且 a + b + c = 1

（1）若 b = c ，求證 （2）求證：

證明 （1）因為 b = c ，所以 a + 2 b = 1 ，則

故 f （ x ） 在 （ - ∞ ， - 2 b ） 上單調遞減，在 （ a ， + ∞ 上單調遞增，且

所以 f （ x ）?1

（2）因為 都是正數，由柯西不等式可得

則 ，當且僅當 時，等號成立.

點本題第（1）問先去絕對值，再利用函數的單調性證明；第（2）問先將 轉化，再巧嵌因式 （ a + b + c ） ，運用三維柯西不等式證明.

4利用柯西不等式解答解析幾何問題

例12 已知直線 l ： a x - b y + 2 = 0 （ a gt; 0 ， b gt; 0 ） 過點（－1，2），求當 取得最小值時直線 的斜率.

由已知可得 - a - 2 b + 2 = 0 ，則 a + 2 b = 2 . 由柯西不等式可得

則 ，所以 ，當且僅當a = 2 b ， a + 2 b = 2 ，即 時，等號成立， 取得最小值4，此時直線 的斜率

評將式子 變形為 （利用同構巧嵌因式的技巧將其乘以一個和是定值的因式 ，再根據柯西不等式等號成立的條件以及 a + 2 b = 2 可得出直線 的斜率.

例13 設直線 l ： y = k x + m （ m ≠ 0 ） 與橢圓 E ： 交于 P ， Q 兩點，求 ΔOPQ 面積的最大值，并證明此時直線 O P 與直線 O Q 的斜率之積為定值（其中 O 為坐標原點）.

設 ，則 ，故

因為 ，由柯西不等式可得

所以 ，當且僅當 即 1x2時，等號成立，此時△OPQ 面積的最大值為 直線 O P 與直線 O Q 的斜率之積 即直線 O P 與直線 O Q 的斜率之積為定值

柯西不等式題型靈活多變，常與方程、絕對值不等式和解析幾何等知識交會命題，在運用柯西不等式時，常用巧拆常數、巧變結構、巧嵌因式和巧換位置等技巧，在問題中運用哪種技巧需要具體問題具體分析.（完）