警惕點差法“失效”

在直線與圓錐曲線問題中，學生有時會遇到一類中點弦問題.解決這類問題常采用點差法，點差法可以巧妙地將斜率公式、中點坐標公式結合起來，減小計算量，提高解題速度，因此它具有很好的推廣價值和實用性.在使用點差法求解涉及雙曲線的“中點弦”問題時，常常會出現“中點弦\"時而存在，時而又不存在的情況.本文通過對教材一道習題的分析，探究“中點弦\"不存在的原因，給出運用數形結合思想快速判斷\"中點弦”是否存在的方法，同時進一步合理對稱設點，給出避免驗證的優化方法，以期對學生的學習有所幫助.

1 教材題源

題目（人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第一冊第128頁第13題）已知雙曲線x2－2 A過點 P （ 1 ， 1 ） 的直線 與雙曲線相交于 A ， B 兩點， P 能否是線段 A B 的中點？為什么？

2 題源解答

方法1 （點差法）當直線 與 x 軸垂直時，因為直線 過點 P （ 1 ， 1 ） ，所以直線 l 的方程為 x = 1 ，此時雙曲線x22 的右頂點 （ 1 ， 0 ） 在直線 上，則直線 與雙曲線只有一個交點，不滿足題意.當直線 與x 軸不垂直時，斜率存在，設 且 .因為點 A ， B 在雙曲線上，所以 兩式相減得

0，整理得

若點 P （ 1 ， 1 ） 為線段 A B 的中點，則

，所以直線 ι 的斜率 k = y1-y2=2，即直線l的方程為y-1=2（x-1），整理得 y = 2 x - 1 . 將直線 的方程與雙曲線的方程聯立 消去 y 整理得 因為 ，所以方程無解，故不存在這樣的直線 l

綜上，點 P 不能是線段 A B 的中點.

若將雙曲線方程改為x2- ，容易發現利用方法1的點差法同樣可以得出直線 的方程為 y = 2 x - 1 ，這說明直接利用點差法不是已知雙曲線的獨有“專利”，即作差的過程不是一個充要條件，所以必須檢驗.

方法2（聯立法）假設直線 存在，設 ，且 ，若 P （ 1 ， 1 ） 為弦 A B 的中點，則 .設直線 l 的方程為 1），由

即 ，則 ，且

解得 且 .因為 ，所以 ，解得 k = 2 ，即滿足條件的直線 l 不存在.

當直線 的斜率不存在時，易得直線 與雙曲線只有一個交點，所以滿足條件的直線 不存在.

通過上面解答發現，并非平面內任意一點都可以作為已知雙曲線弦的中點，那么點究竟在何處可以作為其弦的中點呢？以下探究如下問題.

探究設 兩點在雙曲線（20 上， 為弦 A B 的中點，探究點 滿足的條件.

由雙曲線的對稱性可知，當直線 A B 的斜率k 不存在時，則 ，即 或 .當直線 A B 的斜率 k 存在時，若直線過原點，則滿足條件 M （ 0 ， 0 ） ；若直線不過原點，設直線方程為 ，將其代人方程 1，整理得

則

即 代入判別式整理得

由 Δ gt; 0 ，可得 或 綜上，可得如下結論.

結論1 如圖1所示，當點 位于原點、區域 ① 和區域 ② （即 或區域 ③ 和區域 ④ （即 ）時，存在以點 為中點的弦.同理可得如

下結論.

y長 X

結論2如圖2所示，當點 在陰影區域（除去原點），即滿足 時， 0，則不存在以 為中點的弦.同理對于橢圓與拋物線，感興趣的讀者可自行類比探究.

利用上面結論可以快速解答本題，即 由結論2易知滿足條件的直線 不存在

那么有沒有一種方法不需要先判斷點的位置，也不需用判別式就能確定直線是否存在？接下來利用方法3的探究進行說明.對于這類過線段中點的直線的存在性問題，用以下行之有效的方法處理，則可避開煩瑣的驗證.

有效方法：利用 為線段 A B 的中點，巧妙設出 ，再結合題目中的其他條件進行求解.

方法3 （對稱設點法）由題意可知若 P （ 1 ， 1 ） 為弦 A B 的中點，不妨設 A （ 1 + s ， 1 + t ） ， B （ 1 - s ， 1 - t ） （ s ， t ∈ R） .由 A ， B ， P 不重合，可知 s ， t 不全為0.因為A ， B 在雙曲線上，所以

由 ①+ ② 得

由 ①- ② 得

t = 2 s .

將式 ④ 代人 ③ 可得 顯然不成立，故不存在這樣的直線.

這種巧妙的設法在處理中點問題時有它的獨到之處，若 和 s 同時滿足 ①+ ② 與 ①-

②，則其是A，B兩點在雙曲線x2- 上的充要條件.以上只列舉了它在教材習題中的應用.事實上，利用上述設點方法還可以解決其他方面的問題，感興趣的讀者可以自行探索.

3利用結論秒解試題

變式1已知雙曲線 c 0），若雙曲線不存在以點 （ 2 a ， a ） 為中點的弦，則雙曲線離心率 的取值范圍是（ ）.

0 由結論2可得 ，則 0 ? 4 - 解析

，即 ，所以 即 所以 ，故選B.

變式2 （2023年全國乙卷理11）設 A ， B 為雙曲線x2 上兩點，在下列四個點中，可為線段 A B 的中點的是（ ）.

A. （1，1） B. （-1，2） C.（1，3） D. （ - 1 ， - 4 ）

方法1設線段 A B 的中點為 M ，則根據點解析 差法分析可得 .對于選項A，B，D，通過聯立方程判斷交點的個數，逐項分析判斷即可.

對于選項C，結合雙曲線的漸近線分析判斷.設A（1.y1），B（x2，y2），則AB的中點M（χ1+x2，

因為 A ， B 在雙曲線上，所以 兩式相減得 =0，則kAB·koM （20號

對于選項A，易得 ，則直線 A B 的方程為 y = 9 x - 8 ，聯立方程 消去 y 得

，此時 所以直線 A B 與雙曲線沒有交點，故A錯誤.

對于選項B，易得 則直線AB的方程為 聯立方程 消去 y 得 ，此時

所以直線 A B 與雙曲線沒有交點，故B錯誤.

對于選項C，易得 ，則直線 A B 的方程為 y = 3 x .由雙曲線方程可得 a = 1 ， b = 3 ，則直線AB為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤

對于選項D，易得 則直線 ∣ A B 的方程為 聯立方程 消去y 得 ，此時

所以直線 A B 與雙曲線有兩個交點，故D正確.

綜上，選D.

方法2對于選項A，易得 對于選項B，易得

對于選項C，易得

對于選項D，易得 由結論1和結論2可知選D.

點差法在雙曲線中“失效”的主要情況是所求的中點弦對應的直線與雙曲線不存在兩個交點，通常當直線斜率為漸近線斜率或中點位置在結論2所推導的位置時，會導致直線與雙曲線沒有交點.

（完）