已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)an的幾種技巧

在高中階段，等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列模塊的學(xué)習(xí)重點(diǎn).在已知遞推關(guān)系求解通項(xiàng)公式的過程中，常利用構(gòu)造法將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.在這一過程中，學(xué)生既要掌握數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，又要分析題目所給條件，準(zhǔn)確識(shí)別數(shù)列的類型.

1待定系數(shù)法

型數(shù)列 例1已知數(shù)列 滿足 2，求 的通項(xiàng)公式.

因?yàn)? ，所以 1）.又 ，所以 是以9為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，即 ，故

在探討 （其中 A ， B 為常數(shù)，且 A ≠ 1 ， A B ≠ 0 ; 型數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，首先將原遞推公式轉(zhuǎn)換為 形式，其次運(yùn)用待定系數(shù)法確定常數(shù) M 的值，最后將原問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題求解.

型數(shù)列例2在數(shù)列 中，已知 （ 。 ，求 的通項(xiàng)公式.

因?yàn)? ，所以

又 ，所以 是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，故 ，即

求 （ A ≠ 1 A B C ≠ 0 ; 型數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，令

再通過待定系數(shù)法求得 ? ， q ，則 是公比為 A 的等比數(shù)列.

3） 型數(shù)列

例3 已知數(shù)列 ，且 ，求 的通項(xiàng)公式.

解析 由 ，可得 且 則 是首項(xiàng)為 、公差為 的等差數(shù)列，所以 即

求 （其中 均為常數(shù)，p q （p- 1 ） ≠ 0 ） 型數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，共有3種方法.方法1：先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 的形式，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等求出 λ 的值，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.方法2：先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以q\"+1，得a\"+1 ，引入輔助數(shù)列 （其中 ，得 ，再利用待定系數(shù)法求解.方法3：也可在原遞推公式兩邊同時(shí)除以 p\"+1，得a+1 \"，引入輔助數(shù)列b（其中b=\" ，得 1·\"，再利用疊加法（逐差相加法）求解.

2 同型構(gòu)造法

例4已知數(shù)列 滿足 ，且對(duì)于任意正整數(shù) n ，均有 ，求 的通項(xiàng)公式.

對(duì) 兩邊同時(shí)除以 n （ n + 1 ） ，可得 令 則 ，且 ，所以數(shù)列 是首項(xiàng)為2、公差為1的等差數(shù)列，則 .故

點(diǎn) 評(píng)

同型構(gòu)造的核心思想是將 n + 1 和 和 等因子與數(shù)列項(xiàng)數(shù)相同的部分化歸成結(jié)構(gòu)相同的形式，進(jìn)而構(gòu)造新數(shù)列求解，常見的模型如下.

模型1若 n+1a\"，則（n+1）an+1=na 構(gòu)造 ，則 ，故 為常數(shù)列.

模型2若 則 構(gòu)造 ，則 ，故 為常數(shù)列.

模型3 若 ，則

構(gòu)造 則 故 為常數(shù)列.

模型4若 ，則 構(gòu)造 ，則 ，故 為等比數(shù)列.

模型5 若 ，則 a\"+1.構(gòu)造b\"=\"，則bn+1=bn+1，故{bn}為等差 數(shù)列.

模型 ? 若 ，則 構(gòu) 造 α\"，則bn+1=b\"+1，故{b}為等差數(shù)列.

模型7 若 ，則 構(gòu)造 ，則 ，故 為等差數(shù)列.

3取對(duì)數(shù)構(gòu)造法

例5已知正項(xiàng)數(shù)列 滿足 2，求 的通項(xiàng)公式.

因?yàn)? · ，且 ，所以1，兩邊取對(duì)數(shù)得 ，即

當(dāng) n?2 時(shí)，有

所以 ·

由于 ，則 ，故 ，則

點(diǎn)型如 或 （ 為常數(shù)）的數(shù)列，為方便計(jì)章，可兩邊取以 或首項(xiàng)為底的對(duì)數(shù).

4二階整體構(gòu)造法

例6已知數(shù)列滿足 （ n ∈ ），且 ，證明： 是等比數(shù)列，并求 的通項(xiàng)公式.

0 由 ，得 解析 .因?yàn)? ， ，所以 ，所以 ，則 是首項(xiàng)為4、公比為2的等比數(shù)列，故（2 ，所以 ，即數(shù)列 是首項(xiàng)為 2、公差為1的等差數(shù)列，所以 2 + 1 × （ n - 1 ） = n + 1 ，則

針對(duì) 型數(shù)列，可通過二階整體構(gòu)造法將之轉(zhuǎn)換為 ，求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式，再通過同型構(gòu)造法構(gòu)造等差（或等比）數(shù)列求得數(shù)列 的通項(xiàng)公式，在特殊情況下需要運(yùn)用數(shù)列的特征方程和特征根求通項(xiàng)公式.

構(gòu)造技巧不僅是解題的工具，更是數(shù)學(xué)方法論的重要體現(xiàn).數(shù)列通項(xiàng)的構(gòu)造過程不僅是解題過程的實(shí)踐，更是數(shù)學(xué)思維的深度訓(xùn)練.通過對(duì)遞推關(guān)系的創(chuàng)造性重構(gòu)，我們不僅能夠獲得數(shù)列的顯式表達(dá)式，更能體會(huì)到數(shù)學(xué)作為一門結(jié)構(gòu)科學(xué)的內(nèi)在魅力.

（完）