聚焦平面向量中的取值范圍(最值)問題

平面向量中的最值問題在高中數學中頗為常見，它融合了多個知識點，是數學知識體系的一個重要交會點.這類問題通常綜合考查學生對平面向量定義、性質、定理及運算法則的掌握情況和應用能力.平面向量背景下的最值問題，因其綜合性強、涉及知識點廣泛、解法靈活多變而備受關注.本文通過具體例子探討平面向量取值范圍（最值）問題的求解策略，以期幫助學生提升解題能力.

1代數式（參數）的取值范圍（最值）問題

求解有關代數式（參數）的取值范圍問題，要關注以下兩點：一是通過平面向量的運算、性質構建線性組合或利用三點共線的等價條件得到系數 x ， y 之間的等式關系；二是運用基本不等式或二次函數的性質求解.

例1（1）已知點 A （ - 1 ， - 1 ） ， B （ 1 ， - 1 ） ，若圓 上存在點 M 滿足 · ，則實數 a 的取值范圍是

（2）如圖1所示，在 ΔOPQ 中， M ， N 分別是邊O P ， O Q 的中點，點 R 在直線 M N 上，且 ，則 的最小值是

（1）設點 M （ x ， y ） ，則 解析 ，故 （20 化簡整理得 ，顯然點 M 在以 （ 0 ， - 1 ） 為圓心、2為半徑的圓上.因為該圓與 有公共點，所以

（2號解得 ，故實數 的取值范圍為

（2）因為點 M ， N 分別是邊 O P ， O Q 的中點，所以 又 ，所以 因為點 R 在直線 M N 上，所以2 x + 2 y = 1 ，即 ，則

當且僅當 取得最小值

1

2 向量模的取值范圍（最值）問題

在解決向量模的取值范圍（最值）問題時，常用以下兩種方法.

1）代數法：運用向量的基本性質和運算規則將復雜的向量問題轉化為簡單的代數問題，

2）幾何法：根據題設條件厘清所求的向量模表示的幾何意義，仔細分析題設條件，將原問題轉化為幾何問題.

例2已知 P 是圓 上的動點， A ， B 是圓 上的兩點，若 ，則 的取值范圍是

因為點 P 在圓 上，點A ， B 在 上，如圖2所示.設 D 是 A B 的中點，連接 C D ， A C ，則 C D 垂直平分 A B ，所以

故點 D 在以 C 為圓心、1為半徑的圓上，即點 D 在圓 上.

由 ，可得 即 為圓 M 上的點與圓 上的點的距離.因為

所以

故 的取值范圍是

3數量積的取值范圍（最值）問題

求數量積的取值范圍（最值）的方法通常有兩種.

1）坐標法：利用平面直角坐標系結合有關向量的坐標運算轉化為代數問題進行求解.

2）向量法：對問題進行適當轉化，然后通過平面幾何直觀性進行分析求解，

一例3如圖3所示，已知菱形ABCD的邊 B C 上有一點 E ，邊 D C 上有一點F （點 E ， F 不與頂點重合），且 ，若Δ A E F 是邊長為 的等邊三角形，則 的取值范圍是

如圖4所示，過點 A 作 A G ⊥ B C 于點 G ，作 A H ⊥ C D 于點 H .因為四邊形ABCD為菱 ，所以

因為 Δ A E F 是等邊三角形，所以 ， ，則 R tΔ A G E?R tΔ A H F ，故 ∠ G A E = ∠ H A F ，所以

∠ G A E + ∠ E A H = ∠ H A F + ∠ E A H ，

即 在四邊形GAHC中，有

則

設 ，則 設 b ，因為 ∣ B G ∣ lt; ∣ B E ∣ lt; ∣ B C ∣ ，所以 .在Δ A B E 中，由余弦定理可得

易知

設 ，則 a b = 2 S ，故

因為 ，且 bgt;0 ，所以 又 ，所以

設函數 ，根據對勾函數的性質可得 g （ x ） 在 （ S ， 2 S ） 上單調遞減，所以

即 ，則 2 Slt;3lt;3 S ，解得 s ∈ ，故

平面向量中的取值范圍（最值）問題是高考中常見題型，屬于新高考命題頻繁出現的考點.解決這類問題的方法多種多樣，主要涉及的知識點包括平面向量的模、坐標表示、夾角、數量積等.求解這類問題要善于挖掘題目條件，將原問題轉化為函數最值問題或平面幾何最值問題，這一過程對學生的數學思維能力、探究能力要求較高.

（完）