2024年高考數學新課標1卷第13題解析與變式訓練

導數的幾何意義以及平面解析幾何的核心知識，是高考的高頻考點.2024年高考數學新課標I卷的第13題聚焦該考點考查兩條曲線的公切線問題，該題題型多變、解法靈活且具有顯著的區分度.為加深學生對這類題型的理解，本文以該題為例，進一步對其進行變式訓練，旨在助力學生全面、深入地掌握相關問題的解題要領，

1真題再現

例1（2024年新課標I卷13）若曲線 在點（0，1）處的切線也是曲線 的切線，則 a =

由于曲線方程為 ，則 所以該曲線在點（0，1）處的切線斜率為 ，故切線方程為 y = 2 x + 1

由于 ，則 設曲線 y = 上的切點為 ，則該曲線在點 B 處的切線斜率為 xo+1=2，解得 .由題意可知

將 代人，整理可得

本題明確給出一條曲線在某點處的切線，鑒于曲線和切點均已知，很容易求出切線方程，進而根據公切線的斜率相等以及點 B 既在切線上又在曲線 上，建立方程，求出 的值.

2 變式訓練

變式1已知直線 l ： y = k x + b 是曲線 （ x ? 0 的切線，也是曲線 的切線，則直線 的方程為

設直線 l 與曲線 相切于點 （" x"1，" ），則 可得 ·

設直線 與曲線 相切于點 ，則

結合 ，可得

設 ，令 ， 則 ，故

令 ，則 在 [ 2 ， + ∞ ） 上恒成立，所以 在[ 2 ， + ∞ ） 上單調遞減，則 ，故 在 t ∈ [ 2 ， + ∞ ） 上單調遞減.當 t = 2 時， w （ 2 ） = ，此時 x = 0 ，所以 ，則直線 的方程為 y = 2 x + 1

在未知切點求公切線時，若切點不同，先設y = f （x） 與 上的切點分別為

，則切線方程為 y - .同理可得 上的切線方程為 .因為切線為同一條直線，所以 ，聯立方程即可求解.

變式2若直線 y= kx+ b 是曲線 的 切線，也是曲線 的切線，則 b 的值 為

設 ，則

解析

設直線 y = k x + b 與 相切于點 ，則切線方程為

整理可得

設直線 y = k x + b 與 相切于點 ），則切線方程為

整理得

由題意可知兩條切線表示同一條直線，則

解得 此時公切線方程為

即 ，故

本題是已知兩條曲線的方程，求其公切線問題.由于切點未知，因此分別設出切點，求出兩曲線的切線方程，再依據切線方程的斜率和縱截距相等列方程組求解.

變式3已知函數 的圖像關于原點對稱，則與曲線 y = f （ x ） 和 均相切的直線 ? 有（ ）.

A.1條 B.2條 C.3條 D.4條由于 的圖像關于原點對稱，則 ，即

故 a = 0 ，所以

設直線 與 y = f （ x ） 相切于點 ，則 切線方程為 ，整理 得

設 ，直線 l 與 相切于點 .因為 ，所以切線方程為

整理得 則 故 ①

當 時， 0，方程 ① 存在2個非零解， 是方程 ① 的解，則方程 ① 有3個解，所有滿足題設條件的直線 有3條，故選C.

解決涉及公切線條數的判斷問題，需要根據兩條曲線在切點處的斜率相等以及切點既在切線上又在曲線上列方程，進而將原問題轉化為對應方程的解的個數問題.

變式4已知函數 . ，若兩函數圖像在公共點 A （ 1 ， 2 ） 處有相同切線，則 a + b =_

因為 ，所以

因為兩函數圖像在公共點 A （ 1 ， 2 ） 處有相同切線，所以 可得 故 a + b =

解決此類涉及共切點的公切線問題，往往通過求導處理，利用“該切點處的兩個函數的

導數相等”這一關系建立方程（組），進而求解方程（組）即可.

3小結

隨著高考題的不斷創新，曲線公切線問題的考查愈發頻繁.盡管這類問題較為復雜，但其解題過程卻遵循一定的規律.掌握這些規律，學生的解題效率將得到顯著提升.因此，學生在復習備考時應注重總結和歸納相關解題技巧.

在高考數學試題中，許多問題之間存在著緊密的聯系.因此，學生在復習備考時應巧妙地將課堂內容與重點問題相結合，對真題進行適當變形與拓展，通過“一題多解\"和“一題多變\"有效鍛煉思維的靈活性，從而進一步提升解題能力和應變能力.