解析幾何中關于三角形“四心”問題探究

三角形的“四心\"是指三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心.解析幾何中時常出現(xiàn)有關“四心”的問題，這也體現(xiàn)了平面幾何與解析幾何密切相關.解決此類問題不但需要熟練掌握解析幾何問題的求解策略，還需要注重三角形“四心\"的特點與應用.本文通過典型例題的分析點評，介紹“四心”問題的解題思路和技巧.

1關于三角形重心問題

重心是三角形三條中線的交點，重心到三角形頂點的距離是它到對邊中點距離的兩倍.求解三角形重心問題常用到重心的坐標表示.

例1已知 M 是拋物線 上一動點，過點 M 作拋物線 的切線 ，切點分別是 P ， Q ，若 Δ M P Q 的重心坐標為（3，4)，求拋物線 的焦點坐標.

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設 .由于切點 P ， Q 在解析

拋物線 上，則切線的斜率分別為 所以切線 的方程為 2χ1(x-x1），即y= 同理可得 的方程為 ，聯(lián)立 和 方程，解得 又 x1+x2=3×3， ，解得 ，則 M ( 3 ， - 3 ) ，代入拋物線 a x ，可得 a = 3 ，則拋物線 的焦點坐標為

例2在平面直角坐標系 x O y 中，已知拋物線 上存在兩動點 A ， B （異于原點 o )滿足 A O ⊥ O B ，求 Δ A O B 的重心 M 的軌跡方程.

設 根據(jù)重心的坐標公式有 ， .由于 ，則

又 A ， B 在拋物線 上，所以 ，代入式 ① 得 (舍)或-1，則 （204號所以△AOB 的重心M的軌跡方程為y=3.x2+.

2關于三角形垂心問題

垂心是三角形三條高線的交點，求解三角形垂心問題時常用到高線與對邊互相垂直這一性質.

例3在△ABC中， B ( - 3 ， 0 ) ， C ( 3 ， 0 ) ， D 為線段 B C 上一點， H 是 Δ A B C 的垂心，且 求點 H 的軌跡方程.

設 因為 所以點 H 在 A D 上.又 H 是 Δ A B C 的垂心，所以 A D ⊥ B C ，則 .由 ，可得 且 ，則 A ( x ， 4 y ) .易知 ，且 ( 3 - x ， - 4 y ) ！ .根據(jù) H 是 Δ A B C 的垂心可知 ，所以垂心 H 的軌跡方程為

一例4設雙曲線 的左頂點為 A ，斜率為2的直線 與 C 相交于 M ， N 兩點，證明：Δ A M N 的垂心在 C 上.

證明設直線 的方程為 （204號 ，將直線 的方程與雙曲線方程聯(lián)立， 消去 y 得 由題意可知 Δ > 0 ， 則 或 ，所以 （20 知 A ( - 4 ， 0 ) ，過 A 作 M N 的垂線交 雙曲線 C 于另一點 H ， A H 的方程為 代人方程 ，得 ，解得 x = -4（舍）或 ，則點 .因為

則 M H ⊥ A N ，故△AMN的垂心在 C 上.

3關于三角形內(nèi)心問題

內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，也是三角形內(nèi)切圓的圓心，求解三角形內(nèi)心問題時常用到內(nèi)心到三角形各邊的距離相等及其角平分線的性質.

一例5已知雙曲線 C 的中心在原點，右頂點為A ( 1 ， 0 ) ，點 P ， Q 在雙曲線 C 的右支上，若△APQ的內(nèi)心為 ，且點 M 到直線 A P 的距離為1，求雙曲線 c 的方程.

設雙曲線C的方程為x22 ，易得 .因為 M 為 Δ A P Q 的內(nèi)心且點 M 到直線 A P 的距離為1，所以 ，點 M 到直線A Q ， P Q 的距離都為1.

不妨設點 P 在第一象限，則 ，直線 A P 的方程為 的方程為 .聯(lián)立直線A P 與直線 P Q 的方程解得 ，將點P的坐標代人x2-2 ，得 ，則雙曲線C 的方程為

例6 已知定點 在橢圓 c 上，一條斜率為 的直線 l 與橢圓 C 交于 A ， B 兩點，試判斷△PAB的內(nèi)心是否在定直線 x = 1 上.

設直線 l 的方程為 ，則 由 得 .因為 ∣ Δ > 0 ，所以 ，（20 因為

所以直線 x = 1 平分 ∠ A P B ，即 Δ P A B 的內(nèi)心在定直線 x = 1 上.

4關于三角形外心問題

外心是三角形三條邊垂直平分線的交點，也是三角形外接圓的圓心.在解題的過程中常用到外心到三角形三個頂點的距離相等這一性質.

例7已知拋物線 （ )與過點Q ( 2 p ， 0 ) 的直線交于 A ， B 兩點，設線段 A B 的中點為 H ，證明： H 為 Δ A O B ( O 為原點)的外心.

證明由題意可知直線 A B 不與 x 軸平行.設 ，直線 A B 的方程為 x = k y + 2 p ，與拋物線 聯(lián)立消去 x 得 因為 Δ > 0 ，所以 且 ，則 ， （2p）2=4p2，故OA·OB=x1x2+y1y2=0，即 O A ⊥ O B ，即 Δ A O B 為直角三角形，且 H 是Δ A O B 的斜邊 A B 的中點，所以 H 為 Δ A O B 的外心.

例8過點 P ( - 1 ， 2 ) 作拋物線 的兩 條切線分別交 y 軸于 M ， N 兩點，試求 Δ P M N 的外 接圓的方程.

設過點 的切線方程為 x + 1 = t ( y - 2 ) ，將其與拋物線方程聯(lián)立消去 x 整理得 由 .解得 ，則兩切線方程分別為 和 ，與y 軸的交點分別為

又△PMN的外心 Q 在線段 M N 的垂直平分線y = 1 上，設 Q ( α ， 1 ) ，則 ∣ Q M ∣ = ∣ Q P ∣ ，即 ，解得 ，所以 ，且 ，故△PMN的外接圓的方程為

（完）