從函數的幾何特征入手尋求導數的破題之法

在北京高考數學命題中，導數問題已突破傳統知識考查的邊界，成為檢驗學生多維能力的關鍵載體本文以一道經典導數題目為例，對該題進行多角度分析，以期為學生復習備考提供有益的參考.

1 試題呈現

題目已知函數 ，曲線 f （ x ） 在 （ - 1 ， f （ - 1 ） ）處的切線方程為 y = - x - 4

（1）求 的值；

（2）求證： f （ x ） 只有一個零點；

（3）記 f （ x ） 的零點為 ，曲線 f （ x ） 在 處的切線 l 與 x 軸交于 ，若 ，求 的取 值范圍.

分析本題第（1）問、第（2）問難度不大，但在做題的過程中要明確解題路徑和方法，同時需注意對計算結果的預判和檢驗.以第（1）問為例，題目要求兩個參數的值，從方程思想入手，需要兩個方程來求解，分別由點在切線上和在切點處原函數的導數與切線斜率相同來提供，這是解題路徑.在具體列方程求解之前，也可以對 的取值進行預判：由題意可知此函數不含參數，后面兩小問都需要對原函數進行處理，則原函數的形式不宜過于復雜，可以猜測 a = ± 1 的概率比較大.另一方面，注意到 b 作為常數項，幾何屬性是對原函數的上下平移，則過于復雜的結果對函數的研究意義不大，可以猜測 b = ± 1 或0.解方程之后需要對計算結果進行檢驗（注意不是對解題過程進行重復），在本題中，直接代入切點坐標或在不含參情況下重新求導都不失為有效的檢驗方法.

解 （1）由題意知 ，所以曲線 y = f （ x ） 在 x = - 1 處的切線的斜率為 .又曲線 y = f （ x ） 在 x = - 1 處的切線方程為 y = - x - 4 ，所以

（2）由（1）知 ，令 ，解得 x = 0

當 x 變化時， 的變化情況如表1所示，所以 且當 xlt;0 時， f （ x ） lt; 0 ；當 x = 2 時， 0，則函數 f （ x ） 在 上存在唯一 ，使得 ，即函數 f （ x ） 在 上存在唯一零點.

2一題多解

本文重點研究第（3）問的解法，前兩問的解題過程已經提供了原函數的全部信息.在開始第（3）問的研究前，先畫出函數f （ x ） 的大致圖像，如圖1所示.

解法1 由（2）知切線 的斜率為 .又 f （ t ） = （ t - 1 ） ：

，所以 令（20號 y = 0 ，得

設 ，則

令 ，由（2）可知 t = - 1 或

當 變化時， 的變化情況如表2所示當 t lt; 0 時， g （ t ） ? g （ - 1 ） = - 4 lt; 0 ，即 ，由（2）知 ，故符合題意；當 t gt; 0 時， g （ t ） ? ，即 ，不符合題意.

綜上，t的取值范圍為 （ - ∞ ， 0 ）

解法1是導數問題的常見解法，即依據題意，運用導數研究函數的性質.但對于本題來說，此方法頗為煩瑣.一方面，原函數的信息并沒有得到充分而有效的利用；另一方面，對于新函數 g （ t ） 的處理也極易陷入泥沼，進退兩難.因此，該方法不應該作為首選方法.

解法2因為 ，令 y = 0，得x1= .令 t ，則

又 ，所以回到解法1中的式 ① 完成余下步驟即可.

解法2是在解法1的基礎上進行了改進，在構造并處理新函數的過程中，復雜的函數表示對求導的準確性和對函數性質的研究造成了極大的困擾.解法2選擇進一步優化，先不代入函數表達式，保留函數的整體形式，進行整體求導，從而實現“撥云見日、柳暗花明”的效果.

解法3由（2）知當 t lt; 0 時， ，又 ι ： y - ，令 y = 0 ，得

由（2）知 ，故符合題意.

由（2）可知當 tgt;0 時， ，又 l ： y - f （ t ） = ，設

（2則

當 x gt; 0 時， ，因為 ，所以當 x 變化時， 的變化情況如表3所示，則 F （ x ） ? F （ t ） = 0 ，當且僅當 x = t 時，等號成立，故 又 ，所以 ，不符合題意.

綜上， 的取值范圍為 （ - ∞ ， 0 ） ！

解法3的思路是在讀題的過程中，發現第（3）問的表述有非常強的幾何特征，在畫切線的過程中不難發現：若切點在 y 軸左側，切線斜率為負，與 x 軸的交點必在 x 軸負半軸（如圖2）；若切點在 y 軸右側，由原函數的凹凸性，切線一直在原函數圖像的右下方，則與 x 軸的交點必在原函數的零點右側（如圖3）.至此，通過畫圖已經得出了本題的最終答案，接下來的重點只需聚焦在如何用嚴謹的代數語言把圖像中的幾何關系表述出來即可．

對比解法1和解法2不難發現，解法3從函數圖像入手，充分利用原函數的性質快速得到最終結果，在書寫過程中要注意對幾何關系的代數轉化，繼而可以達到快速、準確拿到滿分的目的，因此解法3是本題最推薦的解法.

3 總結與啟示

導數問題是高中數學的重難點，通過對文中題目的剖析，可以得到以下啟示.1）注意解后檢驗的必要性，先猜后解和畫圖輔助都不失為行之有效的檢驗手段.2）在解題過程中要善于運用多種方法，從不同的角度思考問題，提高解題能力.3）在做導數題的過程中，考慮函數的幾何特征是非常必要的，應充分利用幾何法直觀、好操作的屬性，結合代數法的嚴謹計算與論證，真正做到數形結合、自上而下解決函數問題

總之，學生在高中數學學習和高考備考過程中要重視導數問題，通過先預判、多思考、多落實、勤總結，不斷提升自己的數學素養和解題能力.

（完）