利用零點存在定理探索零點問題的取點策略

零點問題（包括極值點問題）是函數與導數的核心問題，常出現在近幾年的高考試題中.此類問題雖然難度較大，技巧性較強，但實際上有其基本規律和通性通法.解決此類問題時，利用零點存在定理來分析函數零點的個數是一種常見的解題思路，但學生往往難以掌握其中的技巧.在運用零點存在定理解題時，如何確定取點的區間（兩點異號）是解決此類問題的關鍵，也是難點.文章淺談取點的基本原理，給出零點問題取點的四個視角.

1 巧取特殊值

取點時，可通過分析和推理選擇一些特殊值進行判斷.例如，選取區間端點（如果函數在這個點有定義），如果函數中含有指數、對數或三角函數時，可先 含參數的點.取點的原則是將函數解析式中含參項去參，如果難以消參，則退而求其次，通過選點代入簡化函數解析式中的含參項.

例1當 時，討論 的零點個數.

分析由 ，可求得f （ x ） 在 上單調遞增，在 上單調遞減.因為 ，當 x 0 時， f （ x ） - ∞ ；當 x → + ∞ 時 f （ x ）- ∞ ，所以接下來分別在（204號 和 ）上取點，使得函數 f （ x ） 的值小于0.又 ，所以 f （ x ） 在 上有一個零點.下一步需要在 上找一個點滿足函數 f （ x ） 的值小于0.因為 ，所以要找一個比 大的數，可以考慮 加一個正數或乘一個大于1的數，但這樣都不利于對數的運算.考慮到 1，則 elt;0 ，故 f （ x ） 在 上有一個零點.在取點時，若函數表達式中含有對數函數，通常可取 以及根據端點放大縮小而得到的特殊值.在取點的過程中，為了方便后續計算，本題取點參考的是 ，且根據條件，需要找到比 大的點.

解由題意可知 由 ，可得 ；由 ，可得 ，故 f （ x ） 在 上單調遞增，在 上單調遞減.

因為 ，所以 f （ x ） 在 上有一個零點.

又 ，所以 （20 ，則 g （ a ） 在 上單調遞增，所以 ，故 f （ x ） 在 上有一個零點.

綜上，函數 f （ x ） 在定義域上有兩個零點.

2根據函數的有界性放縮

如果特殊值不明顯，可對 f （ x ） 進行放縮放縮取點，有兩個特別需要注意的關鍵點：一是明確對哪個式子放縮；二是選擇合適的放縮形式，但在此過程中要保持函數的單調性.

第一種放縮方法是利用函數的有界性來放縮，即根據定義域對函數進行放縮.例如，當 ∣ a gt; 0 且 x ∈ [1，2]時， a ? a x ? 2 a ， ，這種放縮是把函數放縮成具體的數達到化簡的目的，

例2 （2018年全國 I 卷文21，節選）已知函數 .證明： f （ x ） 只有一個零點.

分析在 中，因為 ，所以 故 0 lt; .因此可將這部分放縮為0和 ，則得到兩個區間端點 ，使得函數值異號.具體過程如下：

令 ，可得 又

令 ，可得 ，所以取

證明 因為 ，所以f （ x ） = 0 等價于

設 ，則

當且僅當 x = 0 時， ，所以 g （ x ） 在 上單調遞增，故 g （ x ） 至多有一個零點，從而 f （ x ） 至多有一個零點.又

所以由零點存在定理可知 f （ x ） 有一個零點.

綜上， f （ x ） 只有一個零點.

3 切線放縮

切線放縮的實質是將指數函數、對數函數放縮為一次函數，即化曲為直，常用的放縮不等式有 1，e2≥ex，e2≥kx（0

例3（2017年全國I卷理21）已知函數 f （ x ） =

（1）討論 f （ x ） 的單調性；

（2）若 f （ x ） 有兩個零點，求 a 的取值范圍.

分析求解第（2）問時，由第（1）問可知，若 a ? 0 f （ x ） 至多有一個零點.若 a gt; 0 ， f （ x ） 的最小值為 .分 a = 1 ， a ∈ （ 1 ， + ∞ ） ， a ∈ （0，1）進行討論.當 a ∈ （ 0 ， 1 ） 時，易知 f （ x ） 在 （ - ∞ . 上有一個零點；由 ，可得 3）.令 ，則 ，故取 ，可得

解 （ 1 ） f （ x ） 的定義域為

若 a ? 0 ，則 在 上單調遞減.

若 a gt; 0 ，令 ，可得 .當 x ∈ 時， ；當 （204時， ，所以 f （ x ） 在 上單調遞減，在 上單調遞增.

（2）若 a ? 0 ，由（1）可知 f （ x ） 至多有一個零點.

若 a gt; 0 ，由（1）可知 f （ x ） 的最小值為

當 a = 1 時，由于 ，故 f （ x ） 只有一個零點.

當 a ∈ （ 1 ， + ∞ ） 時，由于 ，即 ，故 f （ x ） 沒有零點.

當 a ∈ （ 0 ， 1 ） 時，由于 ，即 因為

所以 f （ x ） 在 上有一個零點.又

且 ，所以 f （ x ） 在 上有一個零點.

綜上， a 的取值范圍為（0，1）.

4曲線放縮

有時不能直接將指數、對數函數放縮成一次函數，需要結合函數增減趨勢對指數、對數函數進行代數變形，從而將指數、對數函數放縮為符合函數增減趨勢的多項式函數.若難以將曲線放縮為直線，則可考慮將其放縮為曲線，常利用的曲線放縮不等式有

例4已知函數 ，若 f （ x ） 在（0，+ ∞ ）上只有一個零點，求 a 的值.

分析 當 時，需考慮取到一個 + ∞ ，使得 a2gt;0.由于分母上下結構不同，故考慮利用 這個曲線放縮不等式進行放縮.若直接放縮為 .由于 ，則 1 - a lt; 0 ，明顯放縮得太多.觀察形發現 a gt; 1 ，若能構造 ，即可使式子的值為正，此時必須使得分子的次數低于分母的次數，故取 ，則 1gt;0.由此思路可知取。=6a，8a等都可進行類似放縮.

解設函數 在 （ 0 ， + ∞ ） 上只有一個零點等價于 h （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ）上只有一個零點.

當 a ? 0 時 ， h （ x ） gt; 0 ， h （ x ） 沒有零點.

當 a gt; 0 時， .當 x ∈ （ 0 ， 2 ） 時， ；當 x ∈ （ 2 ， + ∞ ） 時， ，所以h （ x ） 在（0，2）上單調遞減，在 （ 2 ， + ∞ ）上單調遞增，故 4a是h（x）在（0，+））上的最小值.

若 h （ 2 ） gt; 0 ，則 在 （ 0 ， + ∞ 上沒有 零點.

若 h （ 2 ） = 0 ，則 在 （ 0 ， + ∞ 上只有一個零點.

若 h （ 2 ） lt; 0 ，則 因為 h （ 0 ） = 1 ，所以 h （ x ） 在（0，2）上有一個零點.當 時， （證明過程略），所以

故 h （ x ） 在 （ 2 ， 4 a ） 有一個零點.因此， h （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ）上有兩個零點.

綜上，a= A

例5 （2023年全國乙卷理21，節選）已知函數 .若 f （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ 上存在極值，求 a 的取值范圍.

分析求解時運用不等式 和 ，將 放縮為 ，再令 ，取 ，即可找到滿足 h （ x ） lt; 0 的點.

解對 f （ x ） 求導可得

設 則

當 a ? 0 且 x ∈ （ 0 ， + ∞ 時， ，即 h （ x ） 單調遞增，則 h （ x ） gt; h （ 0 ） = 0 ，故 ，所以f （ x ） 單調遞減， f （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 上不存在極值.

當 且 x ∈ （ 0 ， + ∞ ） 時， ，即 h （ x ） 單調遞減，則 h （ x ） lt; h （ 0 ） = 0 ，故 單調遞增， f （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ）上不存在極值.

當 時，令 ，可得 x = 0 或 2.當 時， ；當 + ∞ ） 時， ，所以 h （ x ） 在 上單調遞增，在 上單調遞減.當 時，h （ x ） gt; h （ 0 ） = 0 ，要想判斷 f （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ）上是否存在極值，只需判斷 h （ x ） 在 上是否存在零點，即找到 ，此時需要取點判斷.

因為 （證明過程略），且當 時，有

則

取 ，則

V ，所以 h （ x ） 在 + ∞ ）上存在唯一零點，即 h （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ）上存在唯一零點.

綜上， a 的取值范圍為

例6（2020年全國I卷文21，節選）已知函數 .若 f （ x ） 有兩個零點，求 的取值范圍.

分析由 ，易得當 a ? 0 時，不符合題意.當 a gt; 0 時， f （ x ） 的最小值為 ，若f （ x ） 有兩個零點，則 ，即 時，需要分別在 和（ ，+ ∞ ）上找點，使得函數 f （ x ） 的值大于0.因為 - 1 ，注意到 ，當 x = - 2 時， 2 ） = 0 ，故 當 x → + ∞ 時， f （ x ） + ∞ . - a （ x + 2 ） - ∞ ，此時考慮對 放縮，但放縮后不能改變 f （ x ） 的趨勢.因為 - a （ x + 2 ） 是一次函數，所以考慮將 放縮為二次函數.又 ，所以

令 ，解得

故可取 （因為 帶根 號，直接取點計算量大，故進一步放縮）.

解易得 ：

當 a ? 0 時， 在 上單調遞增，故f （ x ） 至多存在一個零點，不符合題意.

當 a gt; 0 時，令 ，可得 .當 x ∈ （ ： - ∞ . ）時， ；當 x ∈ （ l na ， + ∞ ） 時， ，所以 f （ x ） 在 上單調遞減，在（ln a ， + ∞ ）上單調遞增，故 f （ x ） 的最小值為 .若 f （ x ） 有兩個零點，則 ，解得 .因為 ，所以 f （ x ） 在 上存在唯一零點.當 xgt;0 時， （證明過程略），故

則 f （ x ） 在（ln a "， +∞ "）上存在唯一零點，從而 f （ x ） 在 上有兩個零點.

綜上， a 的取值范圍是

利用零點存在定理來分析函數零點的個數是一種常見的解題思路，如何確定取點的區間是解決此類問題的關鍵，也是難點.處理這類問題除了放縮外還有分離參數、構造函數等方法.

（完）