在高考命題視角下，探討直觀想象核心素養(yǎng)的落實及應(yīng)對策略

直觀想象是高中數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）中，對高考命題建議指出：高考命題要注重對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查.在命題中，選擇合適的問題情境考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，每道題需要給出反映相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分依據(jù).核心素養(yǎng)水平分為三級：一級是在熟悉的情境中考查直觀想象，二級是在數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)情境中考查直觀想象，三級是在綜合數(shù)學(xué)情境中考查直觀想象，所以高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落實于每一道題.基于此，本文梳理總結(jié)了歷年部分高考題，探究直觀想象核心素養(yǎng)在命題中的形式和考查水平等級的劃分，并提出應(yīng)對策略，以明確高考備考方向.

《課程標(biāo)準(zhǔn)》對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)行了全面闡述，從定義、范圍、表現(xiàn)和目標(biāo)四個方面對直觀想象核心素養(yǎng)進(jìn)行說明，直觀想象主要表現(xiàn)為：建立形與數(shù)的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認(rèn)識事物.據(jù)此可知，在數(shù)學(xué)命題中落實直觀想象核心素養(yǎng)的主要題型包括向量、函數(shù)與圖像、統(tǒng)計圖的識別與分析、圓錐曲線、立體幾何等.下面就具體題型和考查水平的劃分一一展開討論.

1向量

向量的線性運算基于幾何原理，如三角形法則和平行四邊形法則，所以向量題是落實直觀想象核心素養(yǎng)的主要題型.這里所指的向量包括平面向量和空間向量，下面以平面向量為例展開討論.

例1（2024年天津卷15）如圖1所示，在邊長為1的正方形ABCD中，點 E 為線段 C D 的三等分點， ，則 λ + μ = . ；若 F 為線段 B E 上的動點， G 為 A F 的中點，則 的最小值為

以點 A 為坐標(biāo)原點，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則 ，B （ 1 ， 0 ） ， C （ 1 ， 1 ） ， D （ 0 ， 1 ）

，1），所以BE=（-1，1）， "1）.由于 ，則 μ （ 0 ， 1 ） ，解得 =1，則λ+μ= 由 B （ 1 ， 0 ） ， 可得直線 B E 的方程為

設(shè) ，則 所以 ！ ，所以

故當(dāng) 時， 取得最小值 中

該題是2024年天津卷的填空題，從情境形式看，屬于數(shù)學(xué)問題情境，在平面向量的知識情境中考查向量共線、向量的數(shù)量積和向量基本定理，是平面向量知識情境問題與平面直角坐標(biāo)系關(guān)聯(lián)問題，是對直觀想象核心素養(yǎng)的二級水平的考查，題目本身體現(xiàn)數(shù)與形的聯(lián)系.解答時，通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用了數(shù)與形的關(guān)系.解決這類問題的關(guān)鍵是先分析出數(shù)與形的關(guān)系，若數(shù)不能直觀表示，則可利用圖形進(jìn)行分析；若形不能分析，則可用數(shù)進(jìn)行描述，或是通過數(shù)與形相結(jié)合共同說明問題.

2 函數(shù)與圖像

向量作為一種兼具幾何和代數(shù)性質(zhì)的工具，為直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提供了獨特的視角.而函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，同樣蘊含著豐富的直觀想象元素，因為函數(shù)的表示形式之一就是圖像，并且函數(shù)圖像也是研究函數(shù)的主要途徑之一.高中學(xué)習(xí)的函數(shù)包括指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和三角函數(shù)等，下面以三角函數(shù)為例展開討論.

例2（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷16）已知函數(shù)f （ x ）=sin （ ω x + φ ） ，如圖3所示， A ， B 是直線 y = 與曲線 y = f （ x ） 的兩個交點，若 個交點，若|AB|= ，則f （ π ） = .

對比正弦函數(shù) y = sinx 的圖像易知點

0）為“五點作圖法\"中的第五點，所以

由題意知 .由

可得 兩式相減得 即 （202

（204號 解得 ω = 4 ，代入式 ① 得 所以

，則

該題是2023年新課標(biāo) I 卷的第16題，屬于填空題的壓軸題.已知三角函數(shù)的部分圖像，求函數(shù)的解析式，這是常見的三角函數(shù)題.本題融合了三角函數(shù)的“五點作圖法”、函數(shù)零點等，題目本身就已經(jīng)融入了數(shù)與形的關(guān)系，屬于在關(guān)聯(lián)的知識情境中考查直觀想象，是對直觀想象核心素養(yǎng)的二級水平的考查.在解題時，關(guān)鍵是從圖像里識別出已知條件，并根據(jù)形與數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化，

3統(tǒng)計圖的識別與分析

統(tǒng)計圖的識別與分析是近幾年高考的熱點題型，統(tǒng)計圖主要用幾何圖形直觀形象地表示數(shù)據(jù)關(guān)系，所以統(tǒng)計圖分析題型也是考查直觀想象核心素養(yǎng)題型之一.統(tǒng)計圖有多種形式，高中數(shù)學(xué)中常見的有條形圖、餅圖、雷達(dá)圖、折線圖、莖葉圖、散點圖、直方圖等

例3 （2022年全國甲卷理2）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖4所示，則（ ）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于 70 % B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于 8 5 % C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

由題意知講座前問卷答題的正確率分別為65 % ， 60 % ， 70 % ， 60 % ， 65 % ， 7 5 % ， 90 % ，5 % ， 8 0 % ， 9 5 % ，將其按照從小到大的順序排列為6 0 % ， 6 0 % ， 6 5 % ， 6 5 % ， 7 0 % ， 7 5 % ， 8 0 % ， 8 5 % ， 9 0 % 9 5 % ，所以其中位數(shù)為 ，故A錯誤.

講座后問卷答題的正確率分別為 90 % ， 8 5 % .8 0 % ， 9 0 % ， 8 5 % ， 8 5 % ， 9 5 % ， 1 0 0 % ， 8 5 % ， 1 0 0 % ， ， 1 0 0 % ， ， 所以其平均數(shù)為

8 5 % + 9 5 % + 1 0 0 % + 8 5 % + 1 0 0 % ） = 8 9 . 5 % ， 故B正確.

由題圖可知講座前問卷答題的正確率比講座后正確率的波動更大，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯誤.

由題圖可知講座前問卷答題的正確率的極差為9 5 % - 6 0 % = 3 5 % ，講座后問卷答題的正確率的極差為 1 0 0 % - 8 0 % = 2 0 % ，故D錯誤.

綜上，選B.

該題是2022年全國甲卷理科的第2題，考查統(tǒng)計圖的識別與分析.從問題情境看，其是熟悉的問題情境，且沒有關(guān)聯(lián)其他知識，所以是對直觀想象核心素養(yǎng)的一級水平的考查.在解題時，關(guān)鍵是能從所給的統(tǒng)計圖中得出數(shù)據(jù)并計算出數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和極差.

4圓錐曲線

圓錐曲線也是落實直觀想象核心素養(yǎng)的主要載體，因為圓錐曲線問題屬于解析幾何問題，解題時需要借助數(shù)與形的聯(lián)系將圖像反映出的問題代數(shù)化.圓錐曲線涵蓋直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線等，還涉及解三角形問題以及新定義的一些曲線，下面以新定義曲線為例進(jìn)行討論.

例4（2024年新課標(biāo)I卷

11，多選題）設(shè)計一條美麗的絲帶，其造型可以看作圖5中曲線C 的一部分.已知 C 過坐標(biāo)原點O ，且 c 上的點滿足橫坐標(biāo)大于- 2 ，到點 F （ 2 ， 0 ） 的距離與到定直線 x = a （ a lt; 0 ） 的距離之積為4，則（ ）.

A. a = - 2

B.點 在 C 上

C. C 在第一象限的點的縱坐標(biāo)的最大值為1D.當(dāng)點 在 C 上時，

因為坐標(biāo)原點 O 在曲線 C 上，所以 4.又 a lt; 0 ，所以 a = - 2 ，故A正確.

因為點 到點 F （ 2 ， 0 ） 的距離與到定直線x = - 2 的距離之積為 ，所以點 在曲線 C 上，故B正確.

設(shè) P （ x ， y ） （ x gt; 0 ， y gt; 0 ） 是曲線 c 在第一象限的點，則 0 （ x + 2 ） = 4 ，所以 .令 則

因為 f （ 2 ） = 1 ，且 ，所以函數(shù) f （ x ） 在x = 2 附近單調(diào)遞減，即必定存在一小區(qū)間 （ 2 - ε ， 2 + ε 使得 f （ x ） 單調(diào)遞減，則在區(qū)間 上均有f （ x ）gt;1 ，即 P （ x ， y ） 縱坐標(biāo)的最大值一定大于1，故C錯誤.

因為點 在 C 上，所以 且

則

所以 ，故D正確.

綜上，選ABD.

該題是2024年新課標(biāo)I卷的11題，屬于多選題的壓軸題.題目以新穎的絲帶造型為問題情境，關(guān)聯(lián)了新概念、曲線 C 的軌跡及方程和曲線C 的性質(zhì)，屬于綜合情境問題，是對直觀想象核心素養(yǎng)的三級水平的考查.解決這類問題的策略如下：一是充分利用好圖形，除了題目明確的已知條件外，能從圖形中抽象出相關(guān)的關(guān)系，或者能抽象出數(shù)與形的關(guān)聯(lián)，即形化數(shù)；二是能將數(shù)抽象成形，借助圖形分析問題，然后抽象出一般規(guī)律，形成方法；三是能從關(guān)聯(lián)的知識點和方法抽象出一般聯(lián)系，對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

5 立體幾何

立體幾何是考查直觀想象核心素養(yǎng)的典型題型，因為在解決立體幾何問題時需要借助立體圖形來直觀反映相關(guān)問題，而且立體幾何題是每年必考的題型，從直觀想象的三個層次水平來看，雖然立體幾何題是熟悉題型，但是問題往往關(guān)聯(lián)著眾多知識，如點、線、面的位置關(guān)系和空間向量等知識，所以立體幾何問題通常是考查直觀想象核心素養(yǎng)的三級水平.

例5（多選題）如圖6所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形， P A ⊥ 底面ABCD， 為線段 P B 的中點， F 為線段 B C 上的動點，則（ ）.

A.平面 A E F 上平面 P B C B.AE//平面 P C D C.當(dāng) P C //平面 A E F 時，三棱錐E-ABF的體積為 D.當(dāng) F 是 B C 的中點時，三棱錐E-ABF外接球的表面積為 5 π

因為 為線段 P B 的中點，所以A E ⊥ P B .因為 P A ⊥ 底面ABCD， B C ? 底面 A B C D ，所以 P A ⊥ B C .因為底面ABCD是正方形，所以 A B ⊥ B C 又 P A ∩ A B = A ， P A ? 平面P A B ， A B ? 平面 P A B ，所以 B C ⊥ 平面PAB.因為A E ? 平面 P A B ，所以 B C ⊥ A E .又 P B ∩ B C = B ，PBC平面 P B C ， B C ? 平面 P B C ，所以 A E ⊥ 平面PBC.因為 A E ? 平面 A E F ，所以平面 A E F ⊥ 平面P B C ，故A正確.

當(dāng) F 為線段 B C 的中點時，由 E 為線段 P B 的中點，可得 E F / / P C . 又 E F 平面 P C D ， P C ? 平面P C D ，所以 E F /平面 P C D .假設(shè) A E / / 平面 P C D ，結(jié)合 A E ∩ E F = E A E C平面 A E F ， E F ? 平面 A E F ，則平面 A E F / / 平面 P C D .又 A F ? 平面 A E F ，所以A F / / 平面 P C D .又 A F ? 平面 A B C D ，平面 A B C D ∩ 平面 P C D = C D ，所以 A F / / C D .顯然 A F 與 C D 不平行，故B錯誤.

當(dāng) P C / / 平面 A E F 時， E F / / P C . 因為 E 為線段P B 的中點，所以 F 為線段 B C 的中點，則 因為 P A ⊥ 平面ABCD， A B ? 平面 A B C D ，所以 P A ⊥ A B .又 P A = A B = 2 ， E 為線段 P B 的中點，所以 .因為 B C ⊥ 平面 P A B ， P B C 平面P A B ，所以 B C ⊥ P B ，所以三棱錐 E -ABF的體積為

故C正確.

因為 A E ⊥ 平面 P B C ， B E ⊥ B F ，所以三棱錐E-ABF可補全為長方體.設(shè)三棱錐 E -ABF的外接球半徑為 R ，則 ，所以三棱錐E-ABF外接球的表面積為 5 π ，故D正確.

綜上，選ACD.

該題是立體幾何問題，主要考查空間中點線面的位置關(guān)系、線面平行的判定定理、線面垂直的性質(zhì)以及幾何體體積公式等，所以該題是綜合數(shù)學(xué)情境問題，考查直觀想象核心素養(yǎng)的三級水平.解決這類問題的方法如下：一是鞏固基礎(chǔ)，清楚空間中點、線、面的位置關(guān)系，并能用數(shù)學(xué)語言表征，理解線面平行、線面垂直、面面平行和面面垂直的判定定理和性質(zhì)，并能用數(shù)學(xué)語言表征；二是能從立體圖形中發(fā)現(xiàn)空間中點線面的位置關(guān)系、空間角和距離，并能用數(shù)學(xué)語言表征.這里需要特別強調(diào)的是在證明空間中點線面的位置關(guān)系時，有些條件必須從圖形中直觀想象出來；三是從眾多關(guān)聯(lián)知識和方法中抽象出聯(lián)系，并用數(shù)學(xué)語言表征.

6數(shù)形結(jié)合思想

許多代數(shù)問題往往需要借助幾何知識輔助求解，我們稱之為數(shù)形結(jié)合.當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合包括三種形式：數(shù)轉(zhuǎn)換為形、形轉(zhuǎn)化為數(shù)和數(shù)與形同時使用，其中形轉(zhuǎn)化為數(shù)和數(shù)與形同時使用的題型在前面已經(jīng)出現(xiàn)過了，這里主要討論通過數(shù)轉(zhuǎn)換為形分析問題的情況.這類問題所涉及的數(shù)學(xué)情境問題往往具有幾何意義，或可以通過代換的形式轉(zhuǎn)化為與形有關(guān)的知識.下面以復(fù)數(shù)為例展開討論.

例6已知復(fù)數(shù) z 滿足 是虛數(shù)單位），則 的最大值為

設(shè) z = x + y i（ x ， y ∈ R） .因為 ∣ z - 3 + 4 i∣ = 1，所以 ，則復(fù)數(shù) z 所對應(yīng)的點的坐標(biāo)是在以 M （ 3 ， - 4 ） 為圓心、1為半徑的圓上，故

式 ① 表示圓 上任意一點 A （ x ， y ） 到定點 B （ 7 ） 的距離（如圖7）.

由圓的性質(zhì)可知 的最大值是點 （ 7 ， - 1 ） 到圓 （ x -

的圓心 （ 3 ， - 4 ） 的距離加半徑，即

該題是復(fù)數(shù)與三角函數(shù)、圓相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)情境題型，是對學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的二級水平的考查.由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的求模公式抽象出 （ x - ，將問題轉(zhuǎn)化為圓錐曲線問題是解題的關(guān)鍵.

本文針對高中數(shù)學(xué)學(xué)科直觀想象核心素養(yǎng)的落實形式以及答題策略展開探究，重點分析直觀想象核心素養(yǎng)在向量、函數(shù)、統(tǒng)計圖、圓錐曲線、立體幾何等方面的落實情況，希望能對學(xué)生的復(fù)習(xí)備考有所啟發(fā).