傳承中考查“四層四翼” 創新中落實核心素養

近五年高考數學卷中全面考查了解三角形的基本知識，命題方式新穎別致，緊扣《中國高考評價體系》中的“一核、四層、四翼”，試題體現《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中提出的數學運算、邏輯推理、直觀想象和數學建模等數學核心素養.

1近五年高考數學中解三角形試題考點透析

筆者研究發現，近五年高考數學中部分解三角形試題所考查的知識點、題型和核心素養詳細情況統計如表1所示.

從上述表格可以看出，解三角形是高考數學的必考內容，題型比較豐富，涉及選擇題、填空題和解答題，考查知識點全面，一般結合三角函數及三角恒等變換等知識綜合考查正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式在解三角形中的應用.

2解三角形核心考點

解三角形重點要掌握正弦定理、余弦定理及其相關變形應用，會用三角形的面積公式解決與面積有關的計算問題，會用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形中的綜合問題，會利用基本不等式和相關函數的性質解決三角形中的最值及取值范圍問題等.

2.1 正弦定理

設 Δ A B C 的內角 A ， B ， C 所對的邊分別為

1）內容： （ R 為 Δ A B C 的外接圓半徑）.

2）變形： ① sin 2Rsin 2R'sin （角化邊）； （邊化 角）； ③a ： b ： c = sin A ： sin B ： sin C ;

3）適用范圍： ① 已知兩角和一邊； ② 已知兩邊和

其中一邊的對角.

2.2 余弦定理

1）內容： cos

2ac cos B C （兩邊及其夾角求 （204號

邊）；cos A= ，cos （三邊求角）.

2）適用范圍： ① 已知三邊； ② 已知兩邊及其 夾角.

2.3 三角形面積

為 a 邊上的高）. 為△ABC的內切圓半徑）. 為△ABC的外接圓半徑）.5）海倫公式： （其中 ） ：

2.4 常見結論

1）三角形內角和定理： A + B + C = π

2）在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊

.3）在三角形中，大邊對大角，大角對大邊.

4）三角形中的射影定理：

b = a cos C + c cos A ， c = b cos A + a cos B

5 ） sin （ A + B ） = sin C ， sin （ B + C ） = sin A ，

（20sin （ A + C ） = sin B ， cos （ A + B ） = - cos C ，

cos （ B + C ） = - cos A ， cos （ A + C ） = - cos B ，

ancos

3 經典試題

3.1 三角形中相關線段的長問題

例1（2024年新課標I卷15）記△ABC的內角 A ， B ， C 的對邊分別為 ，已知sin C =

（1）求 B ：

（2）若 Δ A B C 的面積為 ，求

（1）由余弦定理得

因為 0 lt; C lt; π ，所以 ，則 即 cosB 又 0 lt; B lt; π ，所以 中

（2）方法1 由（1）知 則 設△ABC的外接圓半徑為 R .由正弦定理可得 b = ， ，故

解得 R = 2 （負值舍），則

方法2由（1）知 則 .由正弦定理可得

聯立 ①② 解得 （負值舍）.

方法3 由（1）知 作 A D ⊥ B C ，則中

.設 A D = x ，則 D C = x ，

3x，所以

（20

解得 （負值舍），故

方法4由（1）知 則si .設Δ A B C 的外接圓半徑為 R .由正弦定理可得 a = ，則

解得 R = 2 （負值舍），故 ：

方法5以 B 為坐標原點，以 B C 為 x 軸，建立平面直角坐標系.作 A D ⊥ B C ，則

所以 ，故

解得 （負值舍）.

3.2 三角形的面積問題

例2 在△ABC中，角 A ， B ， C 所對的邊分別為 （20

（1）求 B ： （2）若 b = 1 ，求△ABC的面積.

0 （1）由余弦定理cos 及 解析

，可得cos .由于 C ∈ （ 0 ， π ） ，則 C = 又cos 且 ，所以 2 B = 則

：

（2）方法1 由（1）可知 ，且

由正弦定理可得

所以

方法2 由（1）可知 ，所以sin B = -cos A .由正弦定理可得

方法3 如圖1所示，過 A

點 A 作 A D ⊥ A C 交 B C 于點 （20 C D

D .由于 則， 圖1

所以

！ C D = 2 ，故

3.3 取值范圍問題

例3已知△ABC的內角 A ， B ， C 的對邊分別 為 ，向量 且

（1）求 A ;

（2）如圖2所示， ∠ B A C 的 平分線 A D 交 B C 于點 D ， A D = 1 ，求 的取值 范圍.

解析

（1）由 ，可知 cos A ），故

（204號 顯然 1 + cos A gt; 0 ，則

即 cos A = 3 （ 1 - cos A ） ，解得cos 又 A ∈

（ 0 ， π ） ，所以 0

（2）設 B D = x ， C D = y ，則 x gt; 0 ， y gt; 0 ，且 ，故

由于 A D 平分 ∠ B A C ，故

其中 kgt;0 ，所以 ，則 因此 則 又

所以 ，此時

又 ，所以 2bc cos ，故

當 b = c 時，等號成立.

對任意滿足 的實數 ，令 0 ，則此時 構成一個滿足條件的 Δ A B C ，且

綜上 的取值范圍是

3.4 最值問題

例4在△ABC中，角 A ， B ， C 所對的邊分別為 （204號

（1）若 ，求△ABC的面積 S ：

（2）若角 C 的平分線與 A B 的交點為 D ， C D = ，求 a + b 的最小值.

（1）由題意可知

則

由正弦定理可得 ，則

因為 C ∈ （ 0 ， π ） ，所以 A

在△ABC中， ，由余弦定理可得

則 ，解得 a b = 1 ，因此

即△ABC的面積 S 為

（2）因為 C D 為角 C 的平分線， ，所以∠"A C D=∠ B C D "=π／ 6"在 Δ A B C 中，

，所以

由 可得 ，所以 a b =

.因為 a gt; 0 ， b gt; 0 ，由基本不等式可得 ，所以 當且僅當 a = 時，等號成立，故 a + b 的最小值為

3.5 證明問題

例5記 Δ A B C 的內角 A ， B ， C 的對邊分別為 ，已知點 D 在邊 A C 上，且 B D = A C ， B D ·sin A=B C sin C

（1）證明： Δ A B C 是等腰三角形； （2）若 ，求 sin C

（1）因為 A B sin A = B C sin C ， B D sin A = B C sin C ，所以 A B = B D .又 B D = A C ，所以A B = A C ，故△ABC是等腰三角形.

（2）設 B D = A B = A C = b ，若 ，則 在 Δ A B D 中，由余弦定理得

在 Δ A B C 中，因為 A + 2 C = π ，所以 故

3.6 實際應用問題

一例6某地有一座雕像，如圖3所示.某數學學習小組為測量雕像的高度，在地面上選取共線的三點A ， B ， C ，分別測得雕像頂的仰角為 ，且 ，則雕像的高為 m.

如圖4所示，設雕像的高為 P O = h .由題意可知 ， O B = h ， ，其中OB為 的中線.

在 中，由余弦定理得 2 O B × A B cos ∠ O B A

在 中，由余弦定理得 2 O B × B C cos （ π - ∠ O B A ）

兩式相加可得 ，即

解得 （20

4復習備考策略

4.1 把握方向，提高效率

高考備考應依據《中國高考評價體系》，立足《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》，緊扣教材，依托“一核、四層、四翼\"評價體系，熟悉“核心價值、學科素養、關鍵能力、必備知識\"的考查內容，明確“基礎性、綜合性、應用性、創新性”的考查要求，遵循學生認知規律，把握新高考命題方向，注重能力立意和素養導向，

4.2 關注題型，挖掘規律

上面對近五年解三角形的題型進行了歸納，意在梳理出基本題型，尋找同一種題型的解題方法.從梳理的題型可以看出，解三角形仍是今后考查的熱點，除了常考的題型外，還應重點關注開放題、創新題等新題型.本文通過對近五年高考題深入研究，揭示了各題型之間的內在聯系，挖掘出各題型之間蘊含的規律.

4.3深化思想，提升能力

近五年解三角形試題俗中出新，新中有變.因此，學生在復習備考時既要重視基本知識、基本技能、基本方法的積累，深刻領悟數學思想方法，又要注重培養自身的觀察能力、聯想能力、運算能力、反思能力.

本文系陜西省“十四五”教育科學規劃2024年度課題——新高考背景下生活情境在高中數學教學中的應用研究（SGH24Y0875）階段性研究成果.

（完）