解析幾何問題簡化計算策略

解析幾何問題的求解是一個復雜且煩瑣的過程，其中包含著大量的字母運算與代數變形，如果處理不當就會對解題造成很大困難.因此，在研究其解題思路、探討常規方法的同時，深化對簡化計算方法的研究很有必要，下面舉例介紹四種簡化計算的策略，

1巧用定義，揭示本質

數學定義堪稱性質之源，奠定了其他相關知識的基石.解題時應重視運用圓錐曲線的定義以及數形結合思想，進行定量分析與定性判斷.

例1已知雙曲線 E 的左、右焦點分別為 ，且 是雙曲線E 右支上一點， 與 y 軸交于點 的內切圓與邊 相切于點 Q 若 ，則雙曲線 E 的離心率為

如圖1所示，設 分別與 的內切圓相切于點 M ， N ，則 ∣ M A ∣ = ∣ A Q ∣ 1.又 ，所以由雙曲線的定義知

故 ，又 c = 3 ，所以 ：

點根據內切圓的性質將相關線段進行轉化，使之與雙曲線的定義建立聯系，這樣便可順利a 的值，這是成功解題的關鍵.

練習 已知拋物線 （ . Δm gt; 0 ）的焦點為F ，點 P 為拋物線上的動點，若點 A （ - m ， 0 ） ，則 的最小值為

答案 1

2 設而不求，整體代換

對于直線與圓錐曲線相交所形成的中點弦問題，多數可采用點差法進行整體變換求解，通常是設出弦端點的兩個坐標，然后將之代入圓錐曲線方程，通過作差變形，找出弦所在直線的斜率與中點坐標的關系.

例2 已知雙曲線x2- 上存在 M ， N 兩點關于直線 y = - x + b 對稱，且 M N 的中點在拋物線 上，則實數

設 的中點為 ，則

二式相減得

由題意可知 ，則

又 ，所以 于 M ， N 兩點關于直線 y = - x + b 對稱，所以 1，則 .又中點 在直線 y = - x + b 上，所以 ，聯立二式可得點 將點 E 的坐標代人拋物線方程可得 解得 b = 0 或 ，均滿足題意.

與中點相關的求參數值問題，形式多樣，如何利用中點坐標建立關于參數的方程是解題的關鍵.

練習 已知橢圓 C ，直線 ι ： y = - 2 x + t ，若 C 上存在 P ， Q 兩點關于直線 l 對稱，則 的取值范圍為

答案

3 抓住方程，化繁為簡

在求解直線與圓錐曲線相關問題時，常規做法是聯立直線與圓錐曲線方程，根據一元二次方程根與系數的關系算出相關量.

例3已知 為橢圓 C 的左、右焦點，過 的直線 l 與橢圓 C 相交于 A ， B 兩點，若 的內切圓半徑為 ，求以 為圓心且與直線 相切的圓的方程.

0 易知 ，設直線 l 的方程為 x = 解析 t y - 1 ，代入橢圓方程消元整理得 · ，顯然 Δ gt; 0 恒成立.設 ， 的內切圓半徑為 ，則 4+3t2，所以

而

所以 解得 又圓與直線 l 相切，則該圓的半徑為 ，所以圓的方程為

點對于直線與圓錐曲線相交的問題，聯立直線與圓錐曲線方程并將原問題轉為一元二次方程問題是基本的解題策略，其中利用一元二次方程根與系數的關系進行整體轉化是設而不求、避繁就簡的關鍵技巧.

練習已知點 A （ - 2 ， 0 ） ， B （ 2 ， 0 ） ，若過點（1，0）且傾斜角不為0的直線 l 與橢圓 相交于M ， N 兩點，試判斷直線 A M ， B N 的交點是否在一條定直線上，請說明理由.

答案直線 A M ， B M 的交點在定直線 x = 4 上.

4引參變換，簡化過程

換元引參在解析幾何中是應對最值問題和不等式問題的有力手段.借助換元引參，可以減少變量，進而挖掘出隱藏的信息.但在運用換元法解題時，務必保持代換的等價性，謹防因取值范圍變化而產生錯誤情境.

例4設 A ， B 分別為橢圓 的左、右頂點，點 M 在橢圓上且異于 A ， B 兩點， O 為坐標原點，若 ，證明：直線 O M 的斜率 k 滿足 ·

證明 由于點 M 在橢圓 上，不妨設M （ a cos θ ， b sin θ ） （ 0?θlt;2 π ） ，則線段 O M 的中點為 .因為 ∣ A M ∣ = ∣ O A ∣ ，所以 A Q ⊥ O M ，則 因為 ，所以 2a+acos，即

所以

解得 ，所以

通過三角換元用參數 θ 表示橢圓上的動點P ，可快速建立各點之間的聯系，減少運

練習 已知直線 交橢圓 于 P ， Q 兩點，線段 P Q 的中點為 H ， O 為坐標原點，且 1，則 Δ P O Q 面積的最大值為

答案1.

（完）