從教材習題談談飄帶函數及其應用

教材習題是高考復習備考的重要資料，挖掘習題的價值、回歸教材是提高復習備考效率的重要環節.本文對一道教材習題進行多角度分析，探究出了幾個一般性的性質，希望能為學生復習備考提供參考.

1 問題的提出

題目（人教A版普通高中教科書數學必修第一冊 101頁復習參考題3第12題)試討論函數 y = x - 的定義域、值域、單調性、奇偶性，并畫出函數圖像.

容易得出上述習題答案，但是對于一般的函數 ，它們的圖像和性質又是什么呢？

2 問題的解決

通過探究，上述兩種函數的圖像與性質如表1所示.

因為函數 和函數

的圖像像一條飄帶，因此很多資料上稱其為飄帶函數.

3 問題的拓展

3.1從不等式角度看

通過幾何畫板可以畫出函數 （2號ln 的圖像，如圖1所示，容易得出兩組不等式.

當 時，有 當 0

上面兩組不等式稱為飄帶不等式，下面給出證明，當 x ? 1 時，令 貝

所以 F ( x ) 在 [ 1 ， + ∞ ) 上單調遞減，故 F ( x ) ? F ( 1 ) = 0，即 .令 則 ，所以 H ( x ) 在 [ 1 ， + ∞ ) 上單調遞增，故 H ( x ) ? H ( 1 ) = 0 ，即 當且僅當 x = 1 時，等號成立.

因此，當 ，不等式

成立.

同理可證，當 0 < x < 1 時，不等式 n 也成立.

通過代換，可以得到飄帶不等式的變形：

3.2從曲線的角度看

換個角度思考這個問題，如果把函數 f ( x ) = 0)的圖像看作是曲線，則其是雙曲線，下面給出證明.

設 是 的圖像上任意一點，點 繞著原點順時針旋轉角 后得到點 Q ( x ， y ) ，則點 Q ( x ， y ) 的軌跡為曲線 τ 根據旋轉公式

將點 代人 可得

2 x y ( a sin 2 θ + cos 2 θ ) = - 2 b .

令 ，聯立方程

解得 將 代回式 ① 整理得曲線 τ 的方程

為 ，顯然曲線 τ 為雙曲線.因此，旋轉之前的 也是雙曲線.同理可證 也是雙曲線.

4高考試題中的應用

下面一起來看看如何運用上面所研究的知識來解決最近幾年的高考試題和各地模擬試題.

4.1 飄帶不等式在數列不等式問題中的應用

例1 （2023年天津卷20）已知函數 f ( x ) =

(1)求曲線 y = f ( x ) 在 x = 2 處切線的斜率；(2)當 x>0 時，證明： f ( x )>1 (3)證明：

（求解過程略）.

(2)要證 f ( x )>1 ( x>0 ) ，只需證

即證 ，由飄帶不等式可知顯然成立.

(3)先證明不等式右邊.令

則

由(2)可判斷出 ，所以數列 為遞減數列，則 ，故不等式右邊得證.

下面證明不等式左邊.當 x > 1 ，飄帶不等式 成立，用 替換 x 得

即 兩邊同時乘 可得

則 ，所以

，則

：

以上各式相加得 即

故

本題作為壓軸題有一定的難度，特別是第(3)問的證明難度較大，用飄帶不等式證明是比較好的方法.第（2)問一眼就可以看出飄帶不等式的變形結構 ，那么解題思路就明晰了.第（3）問也是利用飄帶不等式 累加放縮求解.

4.2飄帶不等式在雙變量不等式問題中的應用

例2 已知函數

(1)求 f ( x ) 的極值；

(2)若 ，且 a b > 1 ，證明：g ( a ) + g ( b ) > 0 .

( 1 ) f ( x ) 的極小值為 ，無極大值（求解過程略).

(2)因為 ，所以 （20號 .由 ，可得 ；由 ，可得 ，所以函數 在 上單調遞減，在 上單調遞增，即 ，故函數 g ( x ) 在 ( 0 ， + ∞ ) ）上單調遞增.因為 ，所以 .要證g ( a ) + g ( b ) > 0 ，只需證 ，即證 ，即證

令 ，則只需證 h ( x ) ? 0

當 x = 1 時， h ( x ) = 0

當 0 ，由飄帶不等式可得ln 即 則 ，所以 ，故 h ( x ) > 0

當 x>1 時， ，由飄帶不等式可得 即

所以 ，故 h ( x ) > 0 綜上， . h ( x ) ? 0

將對數函數放縮，利用飄帶不等式求解，過程簡捷.

4.3飄帶不等式在比較大小問題中的應用

例3（2022年新高考 I 卷7設 ，c=-ln 0.9，則( ）.

A C.

當 時，有

則

當 x<1 時，有 當且僅當 x = 0 時，等號成立），所以 則 ，所以 ，故選C.

從飄帶不等式 （ 出發，求解過程快速、簡捷.

4.4從曲線的角度考查雙曲線性質

例4坐標平面 x O y 上的點 P ( x ， y ) 也可表示為 P ( r cos θ ， r sin θ ) ，其中 r = ∣ O P ∣ ， θ 為 x 軸非負半軸繞原點 O 逆時針旋轉到與 O P 重合的旋轉角.將點P 繞原點 O 逆時針旋轉 α 后得到點 ，這個過程稱之為旋轉變換.

(1)證明旋轉變換公式： 利用該公式求點 繞原點 O 逆時針旋轉 后的點 的坐標.

(2)旋轉變換建立了平面上的每個點 P 到 的對應關系.利用旋轉變換可將曲線通過旋轉轉化為我們熟悉的曲線進行研究.求將曲線 c （204 繞原點 O 順時針旋轉 后得到的曲線方程，并求該曲線的離心率.

（求解過程略).

(2)方法1 (旋轉變換化標準式)設曲線 C 上的任一點 P ( x ， y ) 繞原點 O 順時針旋轉 后得到的點為 ，則點 繞原點 O 逆時針旋轉 后得到點 P ( x ， y ) ，故

因為點 P ( x ， y ) 在曲線C 上，所以

化簡得x'2_ ，故曲線 C 繞原點 O 順時針旋轉 后得到的曲線方程為x2- ，該曲線為雙曲線，其離心率為2.

方法2 （公式法)先證明一個結論：設雙曲線方程為 ，角 α 是漸近線 y = 逆時針旋轉到漸近線 的夾角，則離心率 因為 ，所以 由于平移前和平移后 C 的離心率相等，故本題可以用公式 求解離心率.曲線 的兩條漸近線為 和 y 軸，它們夾角為 （20 所以

本題是新定義題型，源于教材習題的推廣.對于第(2)問，可以用旋轉變換公式將非標準雙曲線的離心率轉化為標準式，也可以用方法2中的公式 求解，該公式也適用于一般的非標準雙曲線方程，關鍵是正確找到角 α

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂)》指出，數學教材為“教”與“學\"活動提供學習主題、基本線索和具體內容，是實現數學課程目標、發展學生數學學科核心素養的重要教學資源.習題是教材的重要組成部分，是課堂教學內容的鞏固和深化，也是高考命題的重要題源.要想發揮教材習題的價值，學生就要靜下心挖掘教材課后習題的拓展探究，探究其一般性規律，探究其與高考試題的銜接.