例談高考數列不等式證明中通項放縮的策略

數列是高中數學的重要內容，也是高等數學研究極限的重要載體，是初等數學和高等數學的重要銜接點，更是各地高考中的熱點和難點，而數列不等式的證明更是難點中的難點.此類問題所對應的數列一般不能直接求和，通常需要對通項或求和后的結果進行適當變形放縮后才能求和.放縮法的基本思想是通過放縮將原本不能求和的數列變成可以求和的數列.下面將結合具體例題分類歸納放縮的策略.

1放縮成等差數列求和

若數列 的通項公式是關于 n 的根式且根式化簡后是 n 的1次式，可以考慮把它放縮成等差數列，如 n + 2 ：

一例1已知等差數列 的首項為1，前 n 項和為

（1）求數列 的通項公式；

（2）若 ，數列 的前 n 項和為 ，求證：

（求解過程略）.

（2）由（1）可知 所以 .由 ，可得

所以n（n+1） 又

所以n（n+1） ，即

先將數列 分別放縮成可求和的等差數列 和 ，再根據等差數列求和公式可證明.

2放縮成等比數列求和

若數列 是等比數列，數列 滿足 ka，+b'則可以通過適當變形將b。放縮為等比數列.

例2（2014年全國 I 卷理17）已知數列 滿足

（1）證明： 是等比數列，并求 的通項公式；

（2）證明

證明 （證明和求解過程略）.

（2）由（1）知 ，所以

在第（2）問中，通過對通項 中的指數部分舍掉常數后降冪，放縮為可求和的等比數列，在放縮時需要保持指數的底數不變.

變式1已知數列 的前 n 項和為 （ ），數列 為等比數列，且 分別為數列 的第2項和第3項.

（1）求數列 與數列 的通項公式；

（2）求證：

（求解過程略）.

（2）設

故

在此題中，對 放縮時發現分母中有兩項均為等比數列，此時可以舍掉變化相對較慢的項，確保在 n 足夠大時，二者極限一致，減小放縮帶來的誤差.

變式2 已知數列 滿足 ，求證： （20

證明 因為

當 n = 1 時，等號成立，所以

在證明數列不等式時，若要證明的數列通項公式中涉及指數函數，則可以考慮通過加減常數、分離常數、待定系數、舍掉變化相對較慢的部分等方法，將其放縮為可求和的等比數列.

3放縮后可裂項求和

1）等差型

對于數列 ，若 f （ n ） 是關于 n 的多項式函數，可以考慮將其放縮為幾個因式的乘積后再進行裂項求和，如數列 可以放縮為 （即 ），進而裂項為

已知等差數列 滿足 為等比數列 的前 n 項和，

（1）求 的通項公式；

4anb\"，n為奇數，

（2）設 證明：n 為偶數，

（求解過程略）.

（20 n 為奇數，（2）由（1）知n 為偶數.

設 ，其中奇數項的和為 ，偶數項的和為 ，則

兩式相減并整理得

故 A

所以

故

在本題中，先將 放縮成 然后將其裂項為 進行求和.當 f （ n ） 是關于 n 的2次多項式函數時，考慮用 進行放縮.

2）根式型

對于數列 ，若 f （ n ） 為兩個根式的和時，可以通過分母有理化，將通項轉化為兩項之差，以便求和時抵消中間項.例如， 非負且不同時為

當 a ≠ b 時，不妨設 a gt; b ，則

然后舍掉 后提取 ，再放縮，如

當 a = b 時，可通過舍掉 后，提取 a ，再放縮，如

例4（2019年浙江卷理20）設等差數列 的前 n 項和為 ，數列 滿足：對任意 成等比數列.

（1）求數列 的通項公式；

（2）記 ，證明：

（求解過程略）.

（2）結合（1）可得

則

變式 求證：

證明 因為對于任意的 ，都有

所以

。點對于這類數列不等式問題，往往需要先將其適當放縮變形為 的形式，然后通過分母有理化裂項求和.

3）指數型

對于數列 ，如果其通項公式是分式形式，且分子或分母含有關于 n 的指數部分，除了可以將其放縮為等比數列外，還可以考慮通過適當放縮后對其進行裂項.

例5已知數列 的前 n 項和為 ，且滿足

（1）求 的通項公式；

（2）證明

（求解過程略）.

（2）當 n ? 2 時 成立.

當 n?3 時，設

則 取 所以

故

變式已知數列 是等比數列，其前 n 項和為 ，數列 是等差數列，滿足

（1）求數列 的通項公式；

（2）證明：

， （求解過程略）.

（2）由（1）可得

因為 ，所以

即

觀察例5和變式，注意到例5的第（2）問中， 并不包含 n 的1次或2次項，因此它也符合前面提到的“放縮成等比數列求和”變式2的形式，也可以放縮為

然后求和證明.在變式中，式子 包含了 k 的1次和2次項，這時就不能直接放縮為等比數列了，而是要利用分式的性質放縮后再裂項求和.

4放縮后可錯位相減求和

例6（2021年天津卷19）已知 是公差為2的等差數列，其前8項和為 是公比大于0的等比數列，

（1）求 和 的通項公式.

（2）記

（i）證明： 是等比數列；

（i）證明：

（求解過程略）.

（2）（i （證明過程略）.

（i）由題意知

所以

故

設 2n-1，則

兩式相減得

所以 2\"-1，故

。點對于本題第（ii）問，因為無法直接求解 akak+1，所以應先放縮去除根號，再利用錯位相減法證明.

（完）