高中數學概念教學案例研究

在新課改核心素養理念踐行背景下，高中數學中的概念教學凸顯出重要的地位。教師不僅要想方設法吸引學生參與其中，強化概念的自我體會和理解，更需積極推動學生在概念學習之中提升核心素養。下面筆者以一節等比數列的概念教學為例，探究其數學教學的實施以及培養價值。

一、教學內容分析

等比數列是人教A版（2019）數學選擇性必修第二冊第四章第三節的內容。本節是在等差數列知識學習（如圖1）的基礎上，通過類比歸納，讓學生經歷定義的形成、通項公式的推導，體會數形結合的數學思想，體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思，進一步培養學生解決問題的能力，發展學生邏輯推理、直觀想象、數學運算和數學建模等核心素養。

二、教學活動設計策略

（一）回顧等差，引出等比

師：我們學習了等差數列，知道了等差數列的特征。從運算的角度出發，你覺得還有怎樣的數列是值得研究的呢？

生：等和、等積和等商數列。

師：你能舉出相應的例子嗎？生：如：1，4，1，4，1；0，1，0，3，0，5，；1，2，4，8，…

師：相對于等和與等積數列，等商數列的性質更為豐富，在生活中的應用更廣泛。等商數列更規范的名稱為等比數列，本節課我們將要研究等比數列。類比等差數列的研究路徑，你認為應該研究等比數列的哪些性質？按怎樣的路徑展開研究？主要的研究方法有哪些？

生：實例 概念 通項公式 性質 前 n 項和公式 應用。

設計意圖：利用四則運算類型，可以類比等差數列得出等和、等積與等比數列的名稱，通過對比分析確定將要研究的對象。這樣的設計可以避免先入為主，體現了研究邏輯的完整性，能提升學生發現和提出問題的能力。為了不沖淡主題，等和與等積數列可作為研究性學習內容，供有興趣的學生課下研究。

（二）情境設置，模型構建

師：觀察教材P27問題中的數列，類比等差數列，你認為可以通過怎樣的運算發現這些數列的取值規律？你發現了什么規律？

設計意圖：引導學生用數學符號表示發現的規律。若用 表示數列 ① ，則有 α10=9。這表明，數列①有這樣的取值規律：從第 2項起，每一項與它的前一項的比都等于9。其余幾個數列也有這樣的取值規律。學生可以通過除法運算發現例子中數列的不變性，體會以運算為手段來探索數學對象的取值規律是一種重要的思維方法。

（三）類比歸納，形成概念

師：從上述數列的規律中，你能歸納它們的共性，抽象出等比數列的概念嗎？

師：數列 ① 一 ⑤ 的公比分別是多少？公比 q 取值范圍是什么？等比數列中項的取值有沒有限制？

師：你能根據概念寫出等比數列的符號化定義嗎？

設計意圖：等比數列中的項和公比的取值限制在相關問題中容易被學生忽略，此處以問題的形式加以強調，有助于培養學生嚴謹的思維習慣。學生經歷用簡潔數學符號表示定義的過程，進一步感受數學的嚴謹性與簡潔性，發展數學抽象素養。

（四）深化概念，掌握規律

師：在獲得等比數列的概念后，接下來要研究什么？你能得出哪些結論？

師：有哪些特殊的等比數列？如何定義等比中項？

師生共研：學生給出定義后，教師可引導學生進一步探求三項的取值限制：三項均不為零，首尾同號。

師：同學們觀察等比中項滿足的等式，想一想和我們前面學過的不等式中的哪個概念有關聯？由此，你能得到什么結論？

生：若 G 是 a 與 b 的等比中項，則 ，反之不成立。

設計意圖：在得出等比數列概念后，讓學生思考如何理解概念；給出可供研究的問題，學生容易得出等比中項的概念，但由于運算法則不同，等比中項公式中的字母取值有限制，幫助學生分析出限制的原因，可以讓學生進一步理解等比數列的定義，養成利用概念分析問題的習慣。

（五）通項推導，經驗積累

師：有了等比數列的概念，你能根據定義推導出等比數列的通項公式嗎？

設計意圖：引導學生類比等差數列通項公式的推導，根據等比數列定義，思考如何用基本量 和q 表示 ，學生獨立完成并展示。此處依然要強調上述推理過程屬于歸納推理，而由歸納推理所獲得的結論，僅僅是一種猜想，未必可靠。因此，等比數列通項公式的正確性還有待用數學歸納法予以嚴格證明。學生有推導等差數列通項公式的數學活動經驗，類比歸納出等比數列的通項公式難度不大，可由學生自主完成。

（六）探究等比數列與指數函數的關系

師：在等差數列中，公差 d ≠ 0 的等差數列可以與相應的一次函數建立聯系，那么對于等比數列，公比 q 滿足什么條件時可與相應的函數建立類似的聯系？

師生共研：研究等比數列與指數函數的共性與區別。讓學生知道在公比 q gt; 0 且 （與指數函數底數取值范圍相同）和 的條件下，等比數列的通項公式實際上是指數函數 且 a ≠ 1 ， 經過坐標變換和對稱變換得到的，當公比 q gt; 0 且 時，等比數列 的第 n 項 ，是指數型函數 當 x = n 時的函數值，即 。

師：公比 qgt;0 且 的等比數列 的圖象有什么特點？

教學中可以引導學生思考：除了要像指數函數那樣，分為 0 lt; q lt; 1 和 qgt;1 兩種情況討論外，還要考慮 q = 1 時的情況，以及將整個數列分為 和 兩種情況進行討論。

設計意圖：引導學生探究等比數列與指數函數的關系，通過繪制具體數列圖象直觀得出圖象特點，不僅從代數角度論證了數列與對應函數的關系，還通過圖象加以“印證”，學生既能體會代數與幾何的統一性，又能進一步加深對數列是特殊的函數的理解。

（七）典例分析，解決問題

例1：若等比數列 的第4項和第6項分別為48和12，求 的第5項。

例題點評：例1給定了兩個獨立的條件。與等差數列的問題類似，只要給定兩個獨立的條件，就能確定等比數列，從而求出數列的某一項。但與等差數列不同的是，根據兩個給定條件得到的關于首項 和公比 q 的方程組，其解往往不唯一，有時會有兩個 q 值，也就是得到兩個不同的等比數列。

例2：已知等比數列 的公比為 q ，試用 的第 項 表示 。

例題點評：例2也給出了兩個獨立的條件：公比q 和第 m 項 。學生可以先求出用 表示的首項 ，再代入通項公式的表達式，就得到了用 表示的 。另外也可以像教材中那樣，分別用 和 q 表示 和 ，兩式相除，就消去了 ，得到了用 和 q 表示的 。

例3：數列 共有5項，前三項成等比數列，后三項成等差數列，第3項等于80，第2項與第4項的和等于136，第1項與第5項的和等于132，求這個數列。

例題點評：例3安排了一道綜合應用等差數列和等比數列通項公式解決問題的題目。題目中給出了3個條件，求一個“前三項成等比、后三項成等差”的數列。教學中可以引導學生分析，根據條件包含的等量關系，列出關于數列相關量的方程組是解決這類問題的常用策略。

（八）課堂小結

在本節課你學到了哪些知識、方法和思想？等比數列與等差數列有何異同？

設計意圖：學生自主歸納梳理，教師輔助總結（如圖2），有效檢驗了本節課的教學效果，在強調本節課內容的重點、難點和方法的同時，深化學生對本節課核心內容及其反映的數學思想和方法的理解。

因篇幅問題，上述教學設計省略了習題檢測環節。

三、教學啟示

（一）數學概念教學需注重講解概念的內涵和外延

數學概念的內涵是指該概念的本質和特點，而外延則是指該概念所包括的具體實例。在進行概念教學時，教師若過于注重概念的外延，只給學生列舉大量例子，讓他們記憶概念所包括的內容，但卻忽略概念的內涵，會導致教學并未深人到概念的本質和特點。因此，在數學概念教學時，除了講解概念的外延，還要注重概念的內涵，幫助學生理解概念的本質和特點，讓他們對概念有一個深入的認識。

（二）數學概念教學需注重培養學生的數學思維能力

數學思維能力是指通過抽象、邏輯推理和歸納整合等方法來解決問題的能力。在教學中，教師若只是簡單地講解概念，讓學生死記硬背，會導致學生的思維能力沒有得到鍛煉和提升。因此，在數學概念教學時，除了講解概念，還要注重學生數學思維能力的培養。可以通過給學生一些特定的問題和練習，讓他們通過分析、推理和解決問題的方式來理解概念，從而提高他們的數學思維能力。

（三）數學概念教學需注重培養學生的解決問題能力

數學概念教學不僅僅是為了讓學生掌握概念，更重要的是要培養學生解決實際問題的能力。在教學中，教師不能只簡單講解概念，讓學生死記硬背，不引導他們通過運用概念來解決實際問題，導致學生解決問題的能力沒有得到有效鍛煉和提升。因此，在數學概念教學時，除了講解概念，還要重視培養學生解決問題的能力。可以通過給學生一些實際問題和案例，讓他們運用所學的概念來解決問題，從而提高解決問題的能力。

（四）數學概念教學需注重啟發式教學

啟發式教學是指通過讓學生提出問題、發現規律、思考解決問題的方法，調動學生學習的主動性和積極性，提高學生自主學習和解決問題的能力。在教學中，教師不應忽視學生的主動性。只簡單講解概念，不引導學生去發現問題、探究規律，會導致學生的主動性和創造性沒有得到有效的發展。在數學概念教學時，教師需要注重啟發式教學。通過提出問題、引導發現規律、引導討論問題解決的方法，讓學生在實際操作中去發現問題、探究規律，從而培養和提升他們的數學核心素養。

總之，數學概念教學不僅僅是概念的講解，更重要的是要培養學生的數學思維能力和解決問題能力。在教學中更加注重講解概念的內涵和外延，培養學生的數學思維能力和解決問題能力，注重啟發式教學，讓學生在實際操作中去發現問題、探究規律，從而提高他們的數學學習能力，為學生終身學習和生活打下堅實的基礎。

參考文獻：

[1趙穎穎.基于閱讀·思考·表達的數學概念課教學兼談“等比數列的概念”的教學［J].數學通報，2023，62（12）：37-40+66.

[2]孫園杰.核心素養導向的“單元—課時\"教學設計—以高中數列為例[D」武漢：華中師范大學，2022.

責任編輯：黃大燦