初中旋轉變換結構化復習策略探析

為破解傳統復習知識鞏固碎片化、題型練習機械化、反饋指導籠統化的問題，本文聚焦知識聯結、方法遷移、策略優化，探析旋轉變換的結構化復習策略。

一、知識結構化：構建三層認知體系

1.生活化切入，夯實概念根基

把握旋轉三要素是理解旋轉變換的關鍵點，筆者借助生活素材鞏固學生對旋轉三要素的認識，夯實基本概念。對旋轉中心，筆者通過門開合過程中門軸這個固定點等生活實例，強化學生對“不動點”作用的認識。對旋轉方向，筆者借助鐘表指針運動軌跡等，向學生強調順時針方向與逆時針方向的規范定義。對旋轉角度，筆者利用動態模型，如正方形紙片繞中心點旋轉 后與原來的圖形重合、鐘表走動15分鐘對應分針順時針旋轉 等，深化學生對旋轉角度與圖形位置動態關聯的認識。在此基礎上，筆者結合實例引導學生從幾何直觀、代數表達和三角函數值三重視角理解和描述旋轉角。

2.系統性聯結，構建知識網絡

為幫助學生構建旋轉性質“推理鏈”，筆者從旋轉三要素出發，引導學生發現旋轉變換與其他幾何知識的內在聯系，構建知識網絡。首先，基于“找對應點 對應點到旋轉中心等距 對應邊長度守恒 旋轉角相等 圖形全等”的遞推關系，建立證明框架；其次，通過平移、軸對稱等變換與旋轉變換的對比，凸顯旋轉“繞點保距\"的獨特性；最后，結合正三角形繞中心點旋轉 后“自重合”、圓繞圓心旋轉任意角度后“恒重合\"等案例，深人理解全等變換。

在跨模塊知識融合方面，筆者先將旋轉與對稱結合，引導學生分析圖形旋轉 與中心對稱的等價性，然后將旋轉與相似聯動，引導學生探究旋轉縮放復合變換下相似圖形的構造（如三角形相似中的“一旋轉二相似\"模型），最后將旋轉與對稱、函數圖象融合，通過平面直角坐標系中點旋轉的坐標變換，向學生滲透函數圖象旋轉規律，如拋物線關于 x 軸、y 軸對稱或繞坐標系中某個點旋轉 時，只要將頂點按要求對稱或旋轉，再結合新的開口方向（開口大小不變），就可以直接得到新圖象的解析式。

3.深層次拓展，強化數學本質

筆者從三個方面拓展學生的思維深度：一是運動觀的培養，把旋轉視為圖形在平面內的位置變化運動，理解其“保距、保角\"特性；二是不變性的挖掘，分析旋轉過程中線段長度、角度大小、圖形面積的不變性；三是對稱美的感悟，基于敦煌藻井紋樣、雪花晶體等藝術圖案，賞析旋轉變換的對稱美。

二、題型結構化：實施四階復習策略

1.基礎操作題：三步規范作圖

基礎操作題的錯誤往往集中于選錯旋轉中心，如在平行四邊形繞對角線交點旋轉的情況下，部分學生錯誤地把圖形頂點作為旋轉中心。對此，筆者總結“定中心、標方向、抓關鍵點”三步規范作圖法，即先根據題目描述或圖形特征確定旋轉中心（如平行四邊形對角線交點），然后用箭頭標明旋轉方向，若題目未說明則需討論兩種可能，最后連接旋轉后的各頂點，并用圓規確保對應點到旋轉中心等距。

2.綜合推理題：四步破解難題

教師可以引導學生通過“模型識別一方法提煉—結論梳理一體系建構\"四個步驟破解難題。以“手拉手模型構造技巧\"復習教學為例。課堂上，筆者呈現2024年深圳某區期末數學試題。

（1）如圖1，已知， Δ A B C 和△ECD是等邊三角形，點 B ， C ， D 在同一直線上，連接 B E ， 和邊 A C 交于點 G 連接 A D 和 B E 交于點 求證：

（2）在（1）的條件下，如圖2，將 Δ E C D 繞點 C 順時針旋轉一定的角度 ），連接CF。 ①∠ A F B = ·② 猜想線段 C F ， A F 和 的數量關系，并證明。（如果證明需要用到 ① 的結論，可以直接使用，無需再次證明。）

（3）如圖3，在 Δ A B C 中， A B = A C ，過 Δ A B C 外一點 D ，作 ∠ A D B = ∠ A C B ， B D 和邊 A C 交于點 F ， 連接 C D ，過點 A 作 A E ⊥ B F ， ，垂足為點 E ，若 C D = 3 B D = 9 ， A D = 7 ，請直接寫出 的值。

模型識別階段，筆者引導學生找出圖1中兩個等邊三角形的共頂點 C ， 發現 C A 和 C B 長度相等， C E 和 C D 長度相等，其夾角也相等的典型特征。方法提煉階段，筆者引導學生從共頂點入手，將共頂點的兩組等邊以“大手拉小手\"的方式重新組合，獲得“手拉手”全等即 由此，問題（1）得以解決。證得全等后，筆者引導學生關注“第三邊\"（“大手小手”之外的邊） A D ， B E 的位置關系，根據“8字形”導角可得 ，根據第三邊上的高相等可得點 C 到 A D ， B E 的距離相等，進而通過證明得出 F C 平分 ，最后基于 ，在 上截取線段 F P . 使 F P = F C ，構造等邊 Δ P C F ， 完成問題（2）的證明。對于問題（3），基于前兩問中的\"旋轉手拉手”全等和條件 A B = A C 筆者引導學生在 B D 上取點 K ， 使 A K = A D ，構造“旋轉手拉手”全等即 Δ A B K ? Δ A C D ，并進一步求解。結論梳理階段，筆者引導學生歸納解題思路：“SAS”證全等 全等三角形的第三邊 A D 和 B E 相等 第三邊夾角 ∠ A F B 等于旋轉角 ∠ A C B 第三邊的交點與共頂點的連線 F C 平分第三邊的夾角 體系建構階段，筆者引導學生從以下三個方向拓展學習。

方向一：婆羅摩笈多模型。如圖4所示，點 C 是兩個等腰直角三角形共有的直角頂點，“大手” C A ， C B 和“小手” C D ， C E 由原來的標準\"手拉手\"變為錯位“手拉手”，可得如圖5所示的兩個新的三角形，即 Δ B C D 和 Δ A C E ，這就是婆羅摩笈多模型。其常常涉及如下結論： 中第三邊 B D 上的中線長度等于 Δ A C E 中第三邊 A E 長度的一半，且 B D 上的中線垂直于 此外，教師還可以將條件“ ”變為一般條件“ ∠ A C B + ”，讓原模型變成如圖6所示的旋補四邊形（兩三角形頂角互補的普通等腰三角形共頂點），進而引導學生建立通用模型。

方向二：全等變相似。例如，把圖7所示模型的條件 變為“ ”的普通關系（如圖8），則 Δ B C E ? Δ A C D 變成 Δ B C E ～ Δ A C D 從而將“手拉手\"全等歸納為“手拉手\"相似的特殊情況，實現從特殊到一般的過渡。

方向三：靜態變動態。筆者結合直角坐標系設計關于動點軌跡的問題，將“手拉手”全等從靜態變為動態。如圖9所示，在平面直角坐標系中，點 A 的坐標為 （ 2 ， 0 ） ，點 B 的坐標為 （ 5 ， 0 ） ，點 P 為線段 外一個動點，且 ，請直接寫出線段 A M 長的最大值及此時點 P 的坐標。

學生可以通過構造共頂點 P 的等腰直角三角形解題，即先以點 P 為旋轉中心將 P A 順時針旋轉 構造等腰 R tΔ A P N ， 得 ，利用這個“手拉手\"全等模型將AM轉換為BN，然后聚焦 Δ A B N ， 利用三角形三邊關系發現 B N = A B + A N 時BN有最大值，求得最大值為“ ”，此時點 P 坐標為。

3.動態幾何題：兩階分析方法

動態幾何類習題指圖形在坐標系中旋轉前后變化的相關問題，教師可以引導學生借助兩階段分析法復習。筆者以下題為例做具體闡述。

【初步探究】如圖10，折疊三角形紙片 A B C ，使點 C 與點 A 重合，得到折痕 D E . 展開鋪平后， A B 與 D E 的位置關系為， A B 與 D E 的數量關系為 。

【再次探究】如圖11，將 Δ C D E 繞點 C 順時針旋 轉得到 Δ C M N ， 連接 B M ， A N ， 若 B C = 5 ， A B = 3 ，求 AN的值。

【拓展提升】在（2）的條件下，在順時針旋轉一周的過程中，當 C N / / A B 時，求AM的長。

第一階段：全面考慮旋轉角度。一般來講，幾何圖形旋轉角度可以根據旋轉過程分為多個區間，如【拓展提升】中 Δ CMN的旋轉應考慮 整個范圍，作圖時可以先過點 C 作 A B 的平行線，分為點 N 在點 C 上方和下方兩種情況，然后畫出每個區間內符合條件的圖形。

第二階段：細致捕捉臨界條件。臨界條件的捕捉要依據臨界狀態，如線段重合、面積最大（最小）、垂直（平行）關系出現等。如上題，由 C N / / A B ， ∠ N 和∠ A 為直角，可得MN/AC，進而可構造直角三角形，用勾股定理計算AM的長。

4.應用創新題：真實問題建模

對于涵蓋旋轉、平移、軸對稱、中心對稱、函數圖象等知識的綜合題，教師可以引導學生通過找基本圖形拆解問題，降低難度，然后小組合作探究相關知識點的內在聯系，討論解題思路和方法，形成解題模型。同時，教師應設置跨學科問題。如，筆者融合物理學知識設計題目，讓學生分析齒輪傳動系統中旋轉角度的比例關系；應用工程學知識設計題目，讓學生計算旋轉樓梯踏步板的投影長度與傾斜角度；等等。具體例題如下。

某游樂場有一個直徑為 5 0 m 的圓形摩天輪，其最高點距離地面 5 5 m ，其旋轉一周需要 1 2 m i n 。圓周上座艙 P （ 看作一個點）在距離地面 5 0 m 處，它逆時針旋轉 5 m i n 后距離地面的高度是 m。（結果根據“四舍五入\"法精確到0.1。參考數據： ）

三、策略結構化：落實三環精準指導

診斷環節：三級錯因定位。首先是知識性錯誤，如學生將旋轉角誤認為兩對應邊的夾角，而非對應點連線的夾角。對此，筆者借助幾何畫板演示，先固定旋轉中心，再演示旋轉角形成的過程。其次是方法性錯誤，如對動態幾何題中的旋轉方向未分情況討論。對此，筆者強調旋轉問題“無圖常有陷阱”，而陷阱往往設在旋轉方向上。

干預環節：靶向訓練設計。以旋轉方向混淆問題的矯正訓練為例。在學生確立正確的方向認知基礎上，筆者設計分層練習：基礎層為靜態圖形旋轉作圖、求相關角度等問題；提高層為多角度區間分析的問題，如旋轉 時圖形的位置及相關邊或角的計算等；拓展層為結合實際問題建模，如計算摩天輪運動過程中某個點的水平或鉛垂距離變化等。

評價環節：三維能力觀測。復習教學評價應關注知識理解、方法應用和策略創新三個維度。知識理解維度，如能否準確描述旋轉三要素及全等性質，可用課堂提問、繪制概念思維導圖等方式評價；方法應用維度，如能否獨立完成“手拉手\"模型構造及相關證明，可通過專題測試、解題過程解說等方式評價；策略創新維度，如能否提出兩種以上解決動態幾何題的方法，可通過設計解決問題方案等方式評價。

（作者單位：徐光輝，武漢市光谷實驗中學；張娜，武漢盤龍經濟開發區第一小學）

文字編輯劉佳