新課標背景下的圖形變換及最值求解

教育部2022年頒布的《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）中明確提出了“教什么，為什么教和怎樣教”，并且在初中階段的“學業要求”部分的“圖形變化”中明確指出“理解軸對稱、旋轉、平移這三類基本的圖形運動，知道三類運動的基本特征，會用圖形的運動認識、理解和表達現實世界中相應的現象”.有過初中數學教育教學實踐的同仁一定體會到這三類基本圖形的運動變化，在確定最值問題解題途徑中有極其廣泛的應用，以下與大家分享筆者觀察、分析、轉化、發現、歸納，確定最值的思維過程及思想方法.

1圖形變換的意義

這里的圖形變換，是指初中數學中三類基本圖形的運動變化：圖形的軸對稱（翻折或對折）變化、圖形的旋轉變化和圖形的平移變化.這三類變化的基本性質在于：在變化前后，圖形中任意兩點間的距離及其夾角均保持不變.在數學教育實踐中常把這三類變化與數學基本事實，如“兩點之間線段\"“垂線段最短”，與數學定理如：勾股定理、等腰三角形的判定定理，以及與圖形的全等、圖形的相似等相結合，從而探尋和確定求線段和的最小值的簡約方案和便捷途徑.

2三類圖形變換的圖示及解析

關于這條直線成軸對稱的圖形，如圖1.

其中ABC與 關于直線 成軸對稱，直線 是對稱軸；成軸對稱的兩個圖形全等： Δ A B C？ ；直線 且 ，直線 且 ，直線 且 .正如新課標指出的那樣，“成軸對稱的兩個圖形對應點的連線被對稱軸垂直平分”

2.2旋轉變換的圖形展示與解析

圖形的旋轉變換，是指把圖形繞著一個確定的點、按照一定的方向、旋轉一定的角度的圖形變化.新課標指出旋轉變換的基本性質是：“一個圖形和旋轉得到的圖形中，對應點到旋轉中心的距離相等，兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角相等.”旋轉時，這個確定的點叫作旋轉中心，如圖2中的點 O ，一對對應頂點與旋轉中心連線組成的角即旋轉角，如圖2中的 ；圖形旋轉變化的三要素是旋轉中心、旋轉角和旋轉方向.

圖形旋轉變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小，旋轉前后的兩個圖形能夠完全重合，如圖2中的四邊形 A B C D 與四邊形 是全等圖形；所有的旋轉角相等： ；旋轉方向：四邊形 是由四邊形ABCD按順時針旋轉得到的.

2.1軸對稱（翻折或對折）變換的圖形展示與解析 2.3平移變換的圖形展示與解析

圖形的軸對稱，是指把一個圖形沿一條直線對折（或翻折），直線兩邊的部分能夠完全重合的圖形變化，這條直線叫作對稱軸，這個圖形叫作軸對稱圖形；如果把直線兩邊的部分看作兩個圖形，直線仍稱為對稱軸，則稱直線兩邊的部分是

圖形平移變換，是指在同一平面內，把圖形上的所有點都按照某個直線方向做相同距離的移動的圖形變化.

圖形平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀，圖形的平移取決于平移的方向和距離.新課標指出圖形平移變換的基本性質為：“一個圖形和它經過平移所得的圖形中，兩組對應點的連線平行（或在同

一條直線上）且相等.”

在圖3中，把 Δ A B C 向右平移得到 ；對應點 B 與 的連線與對應點 c 與 的連線都在直線 B C 上.

3圖形變換在最值求解中的應用舉例

3.1利用旋轉變換求最值

案例1如圖 4，G 是 RtΔ D E F 中的一點， ， E F=E D=4 ，求 G E+G D+G F 的最小值.

分析：如圖5，把 Δ D E G 繞點 E 逆時針旋轉 .使點 的對應點分別落在點 處，連接 因為 ，所以 是等邊三角形.于是 ，所以 G E+G D+G F= .由“兩點之間線段最短”知，當 ， 四點在同一直線上時， 的的值最小，這個最小值就是線段 的長，連接 .此時只要求出線段 的長就可得到所求的最小值.

點撥：點 G 這樣的點也叫作費馬點，解題思路即旋轉 + 構造等邊三角形 + 含特殊角的直角三角形 + 勾股定理 + 兩點之間線段最短求線段和的最小值.

3.2運用軸對稱變換求最值

案例2如圖6，在 Δ D E F 中， ， E F=8 ，把 Δ E G H 沿G H 翻折，當 G S//E F 時，點 E 落在點 s 處，點 I 是 E F 上的一個動點，連接 S F，S I .

（1）求證：四邊形EGSH是菱形；

（2）求 S I+S F 的最小值.

分析：（1）由“四條邊相等的四邊形是菱形”知，只要證明 E G=S G=S H=E H ，即可得證，

（2）由菱形的對角線平分一組對角，以及菱形的對角線所在的直線是它的對稱軸，可構造軸對稱圖形，運用軸對稱變換構造含 角的直角三角形，結合含 角的直角三角的性質，聯系兩點之間線段最短和勾股定理即可求得所求的值.

點撥：注意運用轉化思想，緊扣菱形對角線的性質，求角的度數、邊的長度，構造軸對稱圖形，為運用軸對稱變換求最值做好鋪墊.

3.3構造平移變換求最值

案例3如圖7，在矩形DEFG中， H 是邊 G F 上的點， F H=G H=1 ，點 I，J 分別在邊 D G 和 E F 上，E F=4F H，I J⊥ E H 于點 s ，則 E I+J H 的最小值為

分析：如圖8，過點 I 作 I R⊥ E F 于點 R ，可證 由 F H=G H=1 ，得 I R= ，所以 ，則 所以 沿 E H 方向平移 E I 至點 H ，點 I 的對應點落在點 處，連接 .由平移的性質知 $H I^{＼prime}//＼$ ，所以四邊形 是平行四邊形.由I J⊥ E H 于點 s 知， .在 中，由勾股定理可求出 的長.由于 ，由“兩點之間線段最短”可知，當 三點在同一直線上時 的值最小，其最小值就是 的長，所以易得其答案.

點撥：注意此題求解的基礎是證相似求得線段的長，關鍵是先由平移得到平行四邊形，再利用其性質得到直角三角形，從而使求最小值成為可能.

最后，由以上分享的案例分析可見，三類圖形變換在最值求解中的作用不可小，期望數學教育的同仁們在數學教育的道路上，勤勉不輟，發現更多的最值求解好方法.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.