一次函數(shù)與反比例函數(shù)之“旋轉(zhuǎn)與最值”問題

1旋轉(zhuǎn)問題

一次函數(shù)與反比例函數(shù)相結(jié)合得到的有關(guān)旋轉(zhuǎn)類問題，成為中考的熱點(diǎn)題型，不僅考查學(xué)生對兩種函數(shù)定義、圖象、性質(zhì)、解析式等基礎(chǔ)知識的理解，還要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用這些知識解決實(shí)際問題.這類問題考查的知識點(diǎn)多，范圍廣，涵蓋了各種題型，因其難易程度不同，需要注意相關(guān)知識的綜合.比如以下幾個(gè)方面：（1）函數(shù)與方程.通過聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析式求解交點(diǎn)坐標(biāo)，或利用函數(shù)值相等建立方程求解.（2）不等式.在求解函數(shù)值范圍、自變量取值范圍等問題時(shí)，可能利用不等式求解.（3）代數(shù)運(yùn)算.熟練掌握代數(shù)運(yùn)算技巧，如因式分解、配方、換元等，有助于簡化解題過程.總之，對于這類旋轉(zhuǎn)問題，需要在掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識的同時(shí)，通過大量的實(shí)戰(zhàn)演練，熟悉各種題型，及時(shí)對做過的題目進(jìn)行總結(jié)歸納，提煉出解題的規(guī)律和技巧.

例1（2024年濟(jì)南初三檢測）如圖1，一次函數(shù)y=k x+b（k≠0） 與反比例函數(shù) 的圖象交于點(diǎn) A（1，a） ，與 x 軸相交于點(diǎn) B（6，0） ，將直線 A B 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 交x 軸于點(diǎn) c ，交 軸于點(diǎn) E .設(shè)點(diǎn) D 為反比例函數(shù) y= 的圖象與直線 A C 的唯一公共點(diǎn)，連接O D ，證明： O D⊥ A C

點(diǎn)評：本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)中的有關(guān)旋轉(zhuǎn)問題.解決這類問題的核心就是掌握有關(guān)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及一次函數(shù)和反比例函數(shù)的幾何性質(zhì)，然后利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

2最值探究問題

一次函數(shù)與反比例函數(shù)相結(jié)合的有關(guān)存在性最值問題，是一個(gè)靈活的考點(diǎn).對于這類問題，要根據(jù)題目信息，對存在性問題進(jìn)行試探性大膽猜想，然后給出必要的證明.另外，要掌握這類存在性問題的解題步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，明確題目已知條件和待求量；（2）尋找題目中的隱含核心信息，如函數(shù)圖象的特征、交點(diǎn)的位置等；（3）選擇合適的解題方法.最后要注意解題過程中的邏輯性和準(zhǔn)確性，確保每一步的推理和計(jì)算都是正確的.

例2（2024·福建泉州初三檢測）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系 x O y 中，直線 y= 與反比例函數(shù) 的圖象交于 A，B 兩點(diǎn)，其中點(diǎn) A 的坐標(biāo)為

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）作直線 A M，B N 分別垂直于 x 軸和 y 軸，垂足分別為 M，N，A M 與BN交于點(diǎn) c ，在第一象限內(nèi)存在一點(diǎn) D ，使得 ，連接 A D ，若 P 是 A D 的中點(diǎn)，連接 C P ，當(dāng) C P 最大時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn) D 的坐標(biāo)及 C P 的值.

分析：第（1）問首先要求得點(diǎn) A 的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求解.第（2）問首先要取 B C 的中點(diǎn) R ，求得點(diǎn) R 的坐標(biāo)，再取 A R 中點(diǎn) s ，求得點(diǎn) s 的坐標(biāo)，根據(jù)斜邊中線的性質(zhì)、三角形中位線定理結(jié)合勾股定理求得 P S，C S 的長度，由兩，點(diǎn)之間線段最短知，當(dāng) c ，s，P 三點(diǎn)共線時(shí)， C P 取得最大值，然后利用待定系數(shù)法求得直線CS的解析式，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式列式計(jì)算求得點(diǎn) P 的坐標(biāo)，最后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可.

點(diǎn)評：本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)相交線段最值交點(diǎn)存在性問題.解答問題的核心是熟知一元二次方程的解法、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理等基礎(chǔ)知識，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行有關(guān)存在性的求解.

“解題的價(jià)值不是答案本身，而在于弄清是怎樣想到這個(gè)解法的.”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們不僅要追求答案的正確性，更要關(guān)注對解題過程和方法的理解與掌握.只有這樣，學(xué)生才能真正提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力，為未來的學(xué)習(xí)和生活打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).