初中數學解直角三角形試題剖析和解題路徑探究

1用算術方法解直角三角形

用算術方法解直角三角形具有直觀、簡潔的特點，主要根據三角函數的基本性質和運算規則，通過直接計算得到未知量.用算術方法解直角三角形的優點在于：（1）它避免了復雜的方程建立和求解過程，使得解題過程更加簡潔明了；（2）算術方法能夠幫助學生更好地理解三角函數的基本性質和運算規則，加深對三角函數的理解和應用；（3）通過算術方法解直角三角形，學生可以更快速地找到問題的解決方案，提高解題效率.

如圖1，一架無人機航拍過程中在點 c 處測得地面上 A，B 兩個目標點的俯角分別為 和 若 A，B 兩個目標之間的距離是 120m ，則此時無人機與目標點 A 之間的距離（即 A C 的長）為（ ）.

A.120m B.120√3m C.60m D.60√3m

試題分析：本題考查了與俯角有關的解直角三角形的應用，要求學生正確利用俯角構建直角三角形，并應用三角函數的性質求解無人機與目標點之間的距離.通過這道題的解答，學生可以進一步加深對直角三角形性質和三角函數的理解和應用，提高解決實際問題的能力.

考查特點：（1）基本三角函數概念的理解.這類題目通常要求學生理解并運用三角函數中的基本概念，如正弦、余弦、正切函數等.例如，在一個直角三角形中，已知一個角的正弦值為 ，求該角的大小.（2）勾股定理的應用.有些題目可能需要學生運用勾股定理來求解直角三角形的邊長或角度.例如，給出一個直角三角形的一條邊長和一個角度，要求學生利用勾股定理和三角函數知識求出其他邊長或角度.（3）實際問題的應用.部分題目可能結合實際問題，要求學生通過運用直角三角形的概念來解決問題.例如，某物體從斜坡頂端落下，與水平面的夾角為 ，斜坡的長度為 20m 求物體在水平面上的水平位移.（4）求解過程的邏輯性.學生需要按照一定的邏輯順序進行求解，并確保計算過程正確.例如，在直角三角形ABC中， A C=3 ，tan A=2 ，求 A B 的長.然而，利用算術方法解直角三角形也存在一定的局限性.對于一些復雜的問題，可能需要結合其他方法或工具來求解.

2用方程方法解直角三角形

初中數學中，用方程方法解直角三角形是常用的手段.具有以下優點：（1）通過建立方程，可以更容易地處理各種情況下的解直角三角形問題，例如，當已知三角形的兩邊及一個非直角的角度時，我們可以通過構建直角三角形利用正弦、余弦或正切函數建立方程，再通過解方程來找到未知的邊長或角度；（2）采用方程解法，能培養學生將實際問題抽象化、轉化為方程的能力，提升數學建模水平；（3）通過方程方法解直角三角形問題，學生可以更深入地理解數學問題的多樣性，掌握不同問題的解題思路和方法；（4）方程方法需要學生進行符號化思維和邏輯推理，培養他們的抽象思維和邏輯思維，提高解決數學問題的能力；（5）利用方程方法解直角三角形問題時，經常需要與代數知識相結合，有助于學生加深對不同數學內容之間聯系的理解.

如圖2，為了測量河流某一段的寬度，在河北岸選了一點 A ，在河南岸選了相距 100m 的 兩點.現測得 ∠ A C B= ，求這段河流的寬度（結果精確到 .

試題分析：本題考查了解直角三角形的應用，解題關鍵是恰當構建直角三角形，利用三角函數求解.通過這道題的解答，學生可以更好地理解直角三角形與方程之間的聯系，提高解決實際問題的能力.

考查特點：（1）方程的建立與求解.這類試題旨在考查學生運用方程方法解決直角三角形問題的能力.學生需要根據題目提供的條件，建立相應的方程，并解出未知量.（2）問題轉化考查.通過將直角三角形問題轉化為代數方程的形式，考查學生將實際問題轉化為數學問題的能力.學生需要理解問題背后的數學模型，將文字描述轉化為代數方程.（3）邏輯推理考查.考查學生的邏輯思維能力和推理能力.學生需要根據所給條件進行邏輯推理，從而得出結論.（4）解題步驟考查.考查解題的步驟和方法.學生需要按照一定的步驟建立方程，并正確求解未知量.（5）應用能力考查.通過設計一些與實際情境相關的問題，要求學生通過解直角三角形來解決，考查學生將數學知識應用到實際生活中的能力.

3解不含特殊角的直角三角形

在解直角三角形的問題中，有些題目可能并不涉及特殊角（如 等），需要學生在沒有特殊角的情況下解決問題.這類題目通常要求學生更加深入地理解直角三角形的性質，并能夠靈活運用三角函數和勾股定理等數學知識來解決問題.在初中數學中，解不含特殊角的直角三角形問題具有以下優點：（1）深化對三角函數的理解.不含特殊角的直角三角形問題要求學生能夠靈活運用正弦、余弦、正切等三角函數，通過已知條件求解未知量.這有助于加深學生對三角函數概念的理解，并提高他們的應用能力.（2）培養解決問題的能力.不含特殊角的直角三角形問題通常具有較大的靈活性，需要學生根據題目條件選擇合適的三角函數進行求解.這有助于培養學生的問題解決能力和創新思維.（3）加強數學運算能力.在解決不含特殊角的直角三角形問題時，學生需要進行復雜的數學運算，如代數式的化簡、方程的求解等.這有助于提高學生的數學運算能力和計算準確性.（4）聯系實際應用.不含特殊角的直角三角形問題往往與實際生活中的應用場景相結合，如建筑、測量等領域.通過解決這些問題，學生可以更好地認識到數學在現實生活中的應用價值.（5）促進知識整合.不含特殊角的直角三角形問題涉及三角函數、代數方程等多個知識點，解決這些問題需要學生綜合運用所學知識.這有助于促進學生的知識整合和綜合運用能力的提升.

如圖3，是放在水平地面上的一把椅子的側面圖，椅子高為 A C 椅面寬為 B E ，椅腳高為 E D ，且A C⊥ B E，A C⊥ C D，A C//E D. 從點 A 測得點 D，E 的俯角分別為 和 .已知 ，求椅

子高 A C 約為多少cm. 參考數據：tan

sin 53° ，tan 64°～2，sin 64°～ 910

試題分析：本題考查了解直角三角形問題中不含特殊角的實際應用，解題的關鍵在于正確利用俯角構建直角三角形，并應用三角函數求解椅子的高度.體現了數學在實際生活中的應用價值.

考查特點：（1）實際應用背景.這類題目通常具有實際的應用背景，如建筑、測量等領域.通過解決這些問題，學生可以更好地理解數學在實際生活中的應用價值，提高數學學習的興趣和動力.（2）綜合知識運用.不含特殊角的直角三角形問題涉及三角函數、代數方程等多個知識點，解決這些問題需要學生綜合運用所學知識.這有助于促進學生的知識整合和綜合運用能力的提升.（3）問題轉化能力.這類題目要求學生能夠將實際問題轉化為數學問題，并構建相應的直角三角形求解.這有助于培養學生的問題轉化能力和數學建模能力.（4）運算能力考查.在解決不含特殊角的直角三角形問題時，學生需要進行復雜的數學運算，如代數式的化簡、方程的求解等.這有助于提高學生的數學運算能力和計算準確性.（5）邏輯思維和推理能力.不含特殊角的直角三角形問題通常需要進行邏輯推理和代數運算.這有助于培養學生的邏輯思維和推理能力，提高他們的數學素養和綜合能力[.

4解題路徑

解直角三角形試題的路徑可以分為以下幾個步驟：

理解題意.首先，仔細閱讀題目內容，深人理解題意，準確把握已知條件和所求目標.明確題目中已給出的直角三角形的已知邊長和角度信息.

選擇合適的三角函數：根據題目所給信息，選擇合適的三角函數關系來建立方程.一般而言，需根據已知邊長和所求目標，靈活選用正弦、余弦或正切函數.

建立關系式：利用所選的三角函數關系，構建已知條件與所求目標之間的數學關系式.根據題目中提供的信息，將已知邊長和角度代人相應的三角函數表達式中，從而建立方程.

求解未知量：解方程得到所求的未知量.通過代人已知值并解方程，求得所需的未知量.

檢查答案：對求得的未知量進行驗證，確保其符合題意.仔細檢查所求解是否符合題目中給出的條件和要求，特別注意單位和符號的準確性.

總結反思：對解題過程進行總結和反思，歸納解題方法和關鍵步驟.梳理解題過程中的關鍵點，整理和消化解題思路，以便今后遇到類似問題時能夠迅速找到解題方向.

參考文獻：

[1]吳安棟.初中數學三角函數解題技巧探究[]].現代中學生（初中版），2022（8）：17-18.