手拉手”模型變式拓展及解法探究

“手拉手”模型作為初中幾何部分非常重要的問題模型，考查的知識點往往比較豐富，解法靈活，所以極受命題者們的青睞.本文中首先簡要介紹“手拉手”模型，然后嘗試從改變條件入手談一談其變式拓展，最后探究其變式拓展的解法.希望通過這樣的研究一方面幫助教師拓展授課思路，另一方面間接幫助學生提高解決問題的能力.

1“手拉手”模型介紹

兩個有公共頂點且頂角相等的三角形組成的圖形叫“手拉手”模型.從圖形的表現來看，就是從一個頂點出發的四條線段，兩兩相等（或者對應成比例），并且它們所組成的夾角相等.如圖1所示，如果邊兩兩相等，就會出現全等三角形；若對應邊成比例，則會出現相似三角形.

從圖1也可以看出，“手拉手”模型也就是旋轉，或者叫旋轉模型，即凡是一個圖形繞某個頂點旋轉，都會出現這種模型.無非就是旋轉的圖形不同，以及旋轉過程中是否有圖形的縮放.當然，還有部分題目并未呈現“手拉手”模型，而是需要解題者根據需要添加輔助線構造出“手拉手\"模型.

2變式拓展及解法探究

常見的“手拉手”模型主要由直角三角形旋轉組成，當然也會由其他圖形組成，如正方形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形等.下面重點介紹其變式拓展.

變式一共頂點的等邊三角形“手拉手”

這種變式就是將“手拉手”的圖形由直角三角形變換為等邊三角形.如下面這道例題：

例1如圖2，在直線 A C 的同一側作等邊三角形ABD和等邊三角形 B C E ，連接 A E 與 C D .求證：

變式二正方形和等腰直角三角形“手拉手”

這種變式受正方形“手拉手”與等腰直角三角形“手拉手”的啟發，將正方形和等腰直角三角形一起“手拉手”那么，這種變式怎樣解決呢？看下面例2：

例2如圖4，在等腰直角三角形 A D C 中， .A D=4. 點 E 是 A D 的中點，以DE為邊作正方形DEFG，連接A G，C E .將正方形DEFG繞點D 順時針旋轉，旋轉角為 α 。

（1）如圖5，在旋轉過程中，① 判斷 Δ A G D 與 Δ C E D 是否全等，并說明理由；② 當 C E=C D 時， A G 與E F 交于點 H ，求 G H 的長.（2）如圖6，延長 C E 交直線A G 于點 P .求證： A G⊥ C P

3總結與反思

由一個三角形經過旋轉得到另一個三角形，將它們的對應點連起來即可得到“手拉手”模型所以，在解決這一問題的過程中，要注意以下幾點：

首先，訓練學生的空間思維.一個三角形經過旋轉后得到另一個三角形，并且把對應點連接起來，那么這樣的圖形往往線段比較多，且圖形比較復雜，是對學生空間思維能力的考驗，而筆者從課堂實踐中發現很多學生并不能找到全等或相似的兩個三角形，這需要一定時間訓練.筆者建議，可用相同顏色表示對應線段，久而久之，學生的空間思維能力會有所改善.

其次，要重視逆向思維的拓展.現如今“手拉手”模型在試卷中出現得比較頻繁，也被研究得比較透徹[3]。所以，現在的考查趨勢是逆向應用，這就對學生的逆向思維提出了更高的要求.如下面這道例題：

例3如圖9，正方形ABCD外一點 P ，已知 P A= 求 ∠ A P B 的度數.

本題明顯與例1和例2都不同，沒有直接畫出“手拉手”模型，而是需要解題者運用逆向思維通過作輔助線的方式構造“手拉手”模型，如圖10.

總而言之，圖形愈加復雜的問題，更需要仔細分析問題.“手拉手”模型只要找到了全等三角形或相似三角形，問題將迎刃而解.所以，教師要訓練學生的空間思維，要重視逆向思維的拓展，讓學生能靈活應對這類問題.

參考文獻：

[1馮新建.等腰三角形“手拉手”模型的拓展J.初中數學教與學，2019（13）：31-32.

[2]楊再發.等腰直角三角形手拉手展風采[J].初中生輔導，2020（13）：46-48.

[3]任保平.模型·探究·應用—“手拉手”模型問題的解法探究[J].初中生必讀，2021（Z2）：57-59.