探析如何靈活選用平行四邊形的判定定理解題

平行四邊形的性質與判定是“平行四邊形”這一章中兩個非常重要的知識點，但也是非常容易搞混淆和出錯的部分.很多學生不僅分不清什么是性質和判定，將二者混為一談，而且不能準確選用判定定理解題[.本文中以北師大版初中數學教材為藍本，通過一題多解的方式，說明靈活選用平行四邊形的判定定理解題的方法.

1平行四邊形的判定定理及說明

在北師大版初中數學教材中，包括平行四邊形的定義在內（定義可視為判定定理），平行四邊形的判定定理一共是五個.分別如下：

定義（判定定理1）：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

判定定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

判定定理3：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

判定定理4：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

判定定理5：兩組對角分別相等的四邊形是平行 四邊形.

為了更準確地選用判定定理解題，現在對這五個判定定理做如下說明：

首先，判定定理1，2，5都是兩組，判定定理3只需一組；其次，五個判定定理分別是從平行四邊形的邊、角、對角線出發；再次，定義也是判定定理；最后，第五個判定定理在北師大教材中并未詳細講解，只是以練習題的方式讓學生證明，故可以間接作為判定定理使用.

2選用平行四邊形的判定定理解題的方法

2.1例題分析

例題如圖1所示，在四邊形ABCD中， A E⊥ BD于點 E，C F⊥ B D 于點 F，A E=C F ， B F=D E ，四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請說明理由.

分析：本題的條件比較多，且都比較重要.考慮到需證明四邊形ABCD是平行四邊形，而平行四邊形有五個判定，所以嘗試利用這五個判定定理解題.

用判定定理1解題：只需證明四邊形的兩組對邊分別平行即可；

用判定定理2解題：只需證明四邊形的兩組對邊分別相等即可；

用判定定理3解題：只需證明四邊形的一組對邊平行且相等即可；

用判定定理4解題：只需證明四邊形的對角線互相平分即可；

用判定定理5解題：只需證明四邊形的兩組對角 相等即可.

由此可見，本題可能有五種不同的解題方法.

解：四邊形ABCD是平行四邊形.

理由如下：

法一：利用“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”

法二：利用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”

法三：利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”

法五：利用“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”

2.2方法總結

從例題的五種不同解法來看，有比較簡單的解法，如解法一、二、三，也有比較復雜的解法，如解法四、五.如果在考試檢測中遇到此題，那么如何選用判定定理更高效地解出本題呢？現對其方法做如下總結：

首先，如果題自的條件更傾向于“角”，那么不妨從“兩組對角相等的四邊形是平行四邊形”出發，只需證明兩組對角相等即可，如解法五.

其次，如果題目給出的條件更傾向于“對角線互相平分”，那么可考慮采用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形\"進行證明.當然，在證明對角線互相平分時，通常采用證明兩個三角形是全等三角形的方法，甚至有時可能需要作輔助線，如解法四就是如此.

第三，如果條件中有一組對邊平行，那么可沿兩條路線出發，其一是證明該組對邊相等，其二是證明另一組對邊平行.

最后，如果條件中有一組對邊相等，那么也有兩種思路可以證明，其一是證明該組對邊平行，其二是證明另一組對邊相等.

鑒于像這樣的問題思路比較廣闊，在解決的過程中對學生的思維能力有較大考驗，本文建議一線教師要讓學生思考是否有更多方法解決本題，多利用一題多解的方法激發學生的思維，從而提高他們的綜合水平[2]

綜上所述，解決一道關于平行四邊形的初中幾何題，往往方法比較多.如果在證明過程中對選擇哪個判定定理毫無把握，那么不妨先分析題中所給條件是否為邊、角、對角線，然后對應上文總結出的方法，找到相應的判定定理，再逆向推理所需的條件.

參考文獻：

[1]魏爍.結構不良視角下的復習課教學設計——以“平行四邊形的性質和判定定理”復習課為例[J].中國數學教育，2021（23）：32-35.

[2]張蘇.用開放性問題引導平行四邊形單元復習[J].中小學數學（初中版），2022（3）：51-53.