二次函數(shù)中多邊形面積問題求解策略探究

二次函數(shù)中的動點問題主要有以下五種考查類型：多邊形面積問題、線段最值問題、特殊多邊形（如等腰三角形、平行四邊形等）存在性問題、角度存在性問題，以及相似和全等三角形存在性問題.本文中對二次函數(shù)中定直線與動點產(chǎn)生的多邊形面積問題，給出了割補法、相似法、切線法及間距公式法四種求解策略.

1策略一：利用割補法求解

分割、補形是幾何圖形中的常見處理方式，此方法的要點在于把多邊形進行適當?shù)母罨蜓a，分割成若干個或補全為一個有利于表示面積的圖形.

題1（2022巴中）如圖1，拋 物線 ，交 x 軸于 A，B 兩點，交 y 軸于點 C，F(xiàn) 為拋 物線的頂點，直線 E F 垂直于 x 軸 于點 E ，當 y？0 時， -1？x？3

（1）求拋物線的表達式；

（2）點 P 是線段 B E 上的動點（除 B，E 外），過點P 作 x 軸的垂線交拋物線于點 D ，當點 P 的橫坐標為2時，求四邊形 A C F D 的面積.

分析：本題在求出 兩點的坐標后，可得 C D// x 軸，因此可將四邊形 A C F D 的面積分割成 Δ F C D 和 Δ A C D 的面積之和.

解：（1）易求得 過程略.

（2）依題意，求得 A（-1，0），C（0，3），F(xiàn)（1，4） ， D（2，3） ，則線段 C D//x 軸.

故 4，即四邊形 A C F D 的面積為4.

2策略二：利用相似法求解

對于難以求解邊長或高的三角形，若圖形中存在與之相似的三角形，可以將其轉化為已知邊長的三角形，利用相似的比例關系求解.

題2（2022廣東）如圖2，拋物線 （b，c 是常數(shù)）的頂點為 c ，與 x 軸交于 A，B 兩點，A（1，0） A B=4，P 為線段 上的動點，過點 P 作

P Q//B C 交 A C 于點 Q （1）求該拋物線的解析式；

（2）求 Δ C P Q 面積的最大值，并求此時點 P 的坐標.

分析：本題點 A，B，C 的坐標均可求出，注意到 Δ C P Q 的面積可以轉化為 Δ A P C 與 Δ A P Q 的面積之差，接下來就是求底邊 A P 和相應的高.在設點 P 坐標為 （m，0） 后，需要求解點 Q 的縱坐標，這也是本題最大的難點.若利用 P Q//B C ，通過聯(lián)立直線 P Q 與 A C 的方程求點Q 的縱坐標，計算量會非常大，如果注意到 Δ A P Q～ Δ A B C ，利用相似比將點 Q 的縱坐標轉化為關于 m 的關系式，問題將迎刃而解.

解：（1）易求得 過程略.

（2）如圖3，過點 Q 作 Q E⊥ x 軸于點 E ，過點 c 作 C F⊥ x 軸于點 F .由（1）知， .A（1，0），B（-3，0） 設 ，則 P A=1-m .由P Q//B C ，可得 Δ P Q A～Δ B C A ，則 AB·由y=x2+2x-3= ，得 C（-1，-4） ，所以 則 Q E= 1-m .于是 ，又一 ？3 有最大值2，此時點 P 的坐標為 （-1，0） .

3策略三：利用切線法求解

若已知兩定點 A，B ，動點 P 在拋物線上運動，可以利用切線法求解 Δ P A B 面積的最大值，即過點 P 作直線AB的平行線l" ，當直線 l與拋物線有唯一交點P （聯(lián)立方程后得到的判別式為0）時， A B 邊上的高最大.

題3（2022襄陽）在平面直角坐標系中，直線y=m x-2m 與 x 軸、 y 軸分別交于 A，B 兩點，頂點為 D 的拋物線 與 y 軸交于點 c .如圖4，當 m=2 時， P 是拋物線 C D 段上的一個動點.

（1）求 A，B，C，D 四點的坐標；

（2）求 Δ P A B 面積的最大值，并求此時點 P 的坐標.

分析：在求出 A，B 兩點的坐標后，利用勾股定理可以求出底邊 A B ·滿足切線法的使用條件.如圖5，在作出滿足題意的切線 P E 后，難點在于求解兩平行線間的距離，這里可以利用 sin∠ E B F=sin∠ A B O ，將三角形的高轉化為已知邊長求解.

解：（1）易求得 A（2，0），B（0，-4），C（0，-2） 中D（2，2） .

（2）由已知，可得直線 A B 為 y=2x-4 ，拋物線為 過點 P 作直線 A B 的平行線 ，當直線 ι 與拋物線有唯一交點 P 時， A B 邊上的高最大.設l：y=2x+b ，聯(lián)立 ，整理得 2x+b+2=0 由 ，得 b=-1 ，則l：y=2x-1. 由 ，得 x=1 ，則P（1，1） .對于 ：y=2x-1 ，令 x=0 ，得 y=-1 ，所以 l 與 軸交點坐標為 E（0，-1） .如圖5所示，過點 E 作E F⊥ A B 于點 F ，則有 E F=E Bsin∠ E B F=E B ·sin∠ABO=E B？ AB，所以（S△PAB）mx · ，故 Δ P A B 面積最大值為3，此時 P（1，1） .

4策略四：利用間距公式求解

如圖 6，A，B，P 三點在拋物線 上，過點 P 且與拋物線對稱軸平行的直線交 A B 于點于點 Q ，若點 A，B 到直線 P Q 的距離分別為 ，則 .該公式也被稱為間距公式.

證明：設直線 的解析式為 y=k x+m ，聯(lián)立拋物線方程得 ，此方程的兩個根分別為 A，B 兩點的橫坐標，故 ，此為關于 的恒等式.令 ，則 · ，即

所以 即 ：

題4（2023安徽）在平面直角坐標系中， O 是坐標原點，拋物線 經(jīng)過點 A（3，3） ，對稱軸為直線 x=2

（1）求 的值；

（2）已知點 在拋物線上，點 B 的橫坐標為 t ，點 c 的橫坐標為 t+1. 過點 B 作 x 軸的垂線交直線O A 于點 D ，過點 c 作 x 軸的垂線交直線 O A 于點 E 當 0 和 Δ A C E 的面積之和.

分析：如圖7，拋物線的解析式為 ，由題意知點 o 到直線 B D 的距離為 ，由間距公式得B D=t（3-t） ，再利用底乘高即可快速求解 的面積.設點 A 到直線 C E 距離為 n ，同理可求出Δ A C E 的面積.注意到 t+n=t+2-t=2 ，在求解面積之和的過程中運用立方和公式 · 進行因式分解可以大大減少運算量.

解：（1）易求得 a=-1，b=4 .

（2）由（1）得拋物線的解析式為 由題意知，點 o 到直線 B D 的距離為 t .設直線 O A：y= k x ，代入 A（3，3） 得 k=1. 由 O A：y=x ，聯(lián)立 4x 得 ，變形得 -（x-0）（x-3） ，該方程為關于 x 的恒等式，令 x= t ，得 ，即 ，則 ，即 B D=t（3-t） .設點 A 到直線 C E 的距離為n，同理得S△ACE ，又點 A 到直線 C E 的距離為 3-（t+1）=2-t ，則 t+n=2 ，所以 即 和 Δ A C E 的面積之和為2.

在近幾年的各類考試中，二次函數(shù)中動點與面積相結合的試題屢見不鮮，常考常新，應引起高度重視，學生由于對相關的幾何關系掌握不到位導致考試丟分嚴重.教師如果能夠加強學生邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)，總結這一類問題的通性通法一一數(shù)形結合，借助題目的已知條件、所求問題的圖形特征及運動規(guī)律等，靈活地把未知條件轉化為已知條件，將會使得這類問題得到正確迅速的解決，從而提高學生的學習效率.