中考真題細品析 題組生長促發展

翻閱近幾年各省市中考試題，筆者發現，以二次函數為背景構造的存在性問題是中考一道靚麗的風景線，它包括平行四邊形存在性問題、相似三角形存在性問題、直角三角形存在性問題、等腰三角形存在性問題等.此類問題是將圖形性質與二次函數的圖象與性質結合在一起，綜合的知識點較多，滲透了數形結合、分類討論、方程與函數等數學思想，且因為結果的多樣性學生漏解的現象也比較嚴重.鑒于此，筆者選了一道存在性的中考題，通過真題品析與題組生長，以促進學生思維發展，提升學生核心素養.

1真題品析

（2019年阜新）如圖1，拋物線 交x 軸于點 A（-3，0） 和點 B（1，0） ，交 y 軸于點 c ·

（1）求這個拋物線的函數表達式.

（2）點 D 的坐標為 （-1，0） ，點 P 為第二象限內拋物線上的一個動點，求四邊形ADCP面積的最大值.

（3）點 M 為拋物線對稱軸上的點，問：在拋物線上是否存在點 N ，使 Δ M N O 為等腰直角三角形，且∠ M N O 為直角？若存在，請直接寫出點 N 的坐標；若不存在，請說明理由.

解析：（1）根據拋物線與 x 軸的兩個交點坐標，設拋物線的表達式為 y=a（x+3）（x-1）（a≠0） ，化簡可得 ，則 -3a=2 ，解得 所以拋物線的表達式為 x+2，由此求得點 C（0，2） ，拋物線的對稱軸為直線 x=-1

（2）如圖2，連接 O P ，因為點P 是拋物線 上的一點，所以設點 P 的坐標為 四邊形A D C P 的面積 s 可轉化為

，計算整理，得 ，所以當 時，S取得最大值，且最大值為 ·

故四邊形 A D C P 面積的最大值為

（3）存在.理由如下： Δ M N O 為等腰直角三角形，且 ∠ M N O 為直角，以坐標軸為分界線，分為四種情況討論.

當點 N 在第一象限時，如圖3，得等腰直角三角形 ，設點 的坐標為 點 作 x 軸的垂線交 x 軸于點 F ，過 作 x 軸的平行線交直線 于點 E ，構造一線三等角的幾何模型.由拋物線的對稱軸為直線 x=1 ，得 ，易證 ，所以 ，由此建立方程 ，解得 （舍去負值），則點

當點 N 在第二象限時，如圖3，得等腰直角三角形 ，同理可得，點

當點 N 在第三象限時，如圖4，得等腰直角三角形 ，同理可得，點

當點 N 在第四象限時，如圖4，得等腰直角三角形 ，同理可得，點

綜上所述，存在滿足條件的點N ，其坐標分別為

點評：這是一道幾何與代數的綜合試題，考查了用待定系數法求二次函數表達式，用二次函數最值的性質求圖形面積的最大值，以及用分類討論的方法研究存在性問題.雖然 M 是對稱軸上的動點， N 是拋物線上的動點，但 O 是平面內的定點， Δ M N O 為等腰直角三角形，且 ∠ M N O 為直角的情形是有限的.解答時，以坐標軸為分界線，將問題分為四種情形，即點 N 分別在第一、二、三、四象限，從而將運動的問題靜態化.從形的角度進行分類定格，畫出符合題意的圖形，利用全等三角形得到相等的線段；從數的角度設元，用代數式表示線段的長，利用相等的線段建立方程求點的坐標.這是以形助數，以數解形的典形實例.

2題組生長

要發展學生的思維能力，僅靠一道真題的品析是不夠的，可通過改變問題的條件或結論，以改變學生的思維角度，提升學生的應變能力，鼓勵學生運用多種方法解決同一問題.為此，教師可采用一題多變的形式，讓原題生長，引導學生對知識進行整合，對方法進行遷移，進一步理解問題的本質，提升學生的思考力.

變式如圖5所示，二次函數 的圖象與 x 軸交于 A，B 兩點，交 y 軸于點 c ，點 A（-3，0） ，點 B（1，0） ，在二次函數圖象的對稱軸上任取一點M ，在二次函數圖象上任取一點N ，過點 作直線.

（1）在 x 軸上任取一點 D ，若存在以AC為一邊，以 D，N，A，C 為頂點的平行四邊形，求此時點 N 的坐標.

（2）如圖6所示，在線段 A C 上任取一點 E ，過點E 作 x 軸的垂線 E F ，交二次函數圖象于點 F ，線段

E F 存在最大值嗎？若存在求，其最大值.

（3）在第（2）小題的條件下，在 軸上任取一點 P ，若存在等腰三角形 ，求出此時點 P 的坐標.

（4）在二次函數圖象的對稱軸任取一點 M ，若存在直角三角形ACM，求出此時點 M 的坐標.

（5）如圖7所示，過點 c 作 x 軸的平行線交二次函數的圖象于點 H ，在 x 軸上任取一點 G ，若存在以點 A，C，G 為頂點的三角形與 Δ A H C 相似，求出此時點 G 的坐標.

點評：本變式題組是在原題的基礎上繼續生長的新問題，包括是否存在平行四邊形、等腰三角形、直角三角形、相似三角形，以及求線段的最值等，通過增加條件，變化問題，環環相扣，層層深入.學生在解題與思考的過程中，通過思維的碰撞，提升思維的品質，活化數學知識，積累數學活動經驗，提升核心素養.

3復習建議

中考數學復習課中教師既要系統地復習知識點，也要把握中考試題的特征與熱點，通過真題探究與題組生長，關注學生解題的思維過程，及時修補學生思維的漏洞，加強解題后反思，把數學思想方法教學、學科能力的培養與提升真正落到實處.

在二次函數的綜合壓軸試題中，要以形助數，做到有效構圖，根據圖形的性質構造直觀性圖形，從而找到點或線之間的位置關系或數量關系；在分類討論問題時，要分類畫出符合題意的圖形，實現各個擊破，在解完第一種情形后，要運用類比的思想，將解答第一種情形的解題思路嘗試運用到后面的各種情形中，以提高解題效率.

數學家希爾伯特說：“一個問題的解決意味著一系列新問題的誕生，當解題成功時，不要忘記提出新問題，因為還有許多寶藏尚未開發出來.”因此在中考復習的過程中，不能就題論題，要善于變式，讓問題更深入，更寬廣，如本文中的題組生長就是一種行之有效的方法，有利于創造積極探究的學習氛圍，喚醒學生的好奇心與求知欲，加深學生對解題思路的理解，促進學生思維的發展，提升學生核心素養.