一道網格中求余弦值問題的多角度探究

1原題呈現

題目如圖1的正方形網格，每個小正方形的邊長都等于1，若點 A，B，C 均在格點上，則∠ C A B 的余弦值為

2難點剖析

方格紙一般由正方形網格構成，是學生重要的學習工具，在學習“函數”內容時，一般用來作點的坐標，畫函數圖象，學生對此非常熟悉.正方形網格具有橫平豎直、格點之間的距離相等的特征，隱含有特殊的線段與角，利用好方網格的特征是解題的突破口.對于本題，可能會存在以下幾個難點：

（1）∠ B A C 所在的三角形是非直角三角形，線段A B，A C 不過格點，連接格點也不能形成三邊數據較好的直角三角形，因此如何找到合適的直角三角形是求解的關鍵.

（2）方網格隱藏有不同類型的線段或角，如線段的平行、垂直關系，特殊角，找出這些特殊線段或角，運用特殊信息是成功解題的引爆點.如本題 ∠ A B C 是個特殊角， ，由此過格點C作CE⊥AB于點 E .線段 C E 既可看成 Δ A B C 的高，也可看成Δ B E C 的直角邊，還可看成 RtΔ A E C 的直角邊.運用∠ A B C 的三角函數值可有效減少運算量，提高解題速度.

（3）明確同角的三角函數之間的關系，如 ，正弦定理，余弦定理；若能恰當地運用這些知識，可拓展解題思路，引發學生多角度探究，提升學生的創新能力.

（4）方形網格具有數與形的特征，網格線橫平豎直為建系提供了天然條件.要明確一次函數解析式的求法，如待定系數法，兩直線平行、垂直關系的解析式特點，求交點坐標等各種轉化策略.

3解法探究

法一：面積與勾股定理結合.解：如圖2，過點 c 作 C E⊥

于點 E ，找出格點 N 因為SABC=

，則 5× C E=2×

3，所以 又 RtΔ B C E 中，可知 所以 又 ，所以

點評：用面積法求出 C E ，運用勾股定理求得 B E ，由格點三角形知 A B，A C ，則可求得 A E ，再運用余弦定義在 RtΔ A E C 中得出結果.

法二：雙勾股與二次方程齊助力.

解：如圖2，過點 c 作 C E⊥ A B 于點 E ，找出格點N .設 B E=x RtΔ B C E 中， RtΔ A C E 中， 所以 ，解得 ·所以 故

點評：過格點 c 作 A B 的垂線段，只需求 A E 的長，又只需求 B E 或 C E 的長，于是設 B E=x ，運用雙勾股，建立方程并求解即可.

法三：運用同角的三角函數關系.

解：如圖2，過點 c 作 C E⊥ A B 于點 E .因為sin BC，sin B ，所以 又 ，則 又 ，結合 ∠ B A C 為銳角，得

點評：用三邊為3，4，5的直角三角形的銳角三角函數求出 C E ，再利用同角的正弦、余弦平方和關系式求出結果.

法四：補形求線段長.

解：如圖3，將正方形網格向

下添3行，則 A C 的延長線過格

點 M ，過點 ？ 作 B N⊥ A M 于

點 N .因為cos 同時又·

有cos 所以可 圖3

得 解得 由勾股定理，知 所以 故

點評：將網格向下延伸， A C 的延長線過格點，將A C 看成 RtΔ A B N 邊的一部分，再求 Δ A B M 的 A M 邊上的高BN分得的線段 M N 的長.

法五：運用一次函數.

解：如圖4，建立平面直角坐標系，坐標原點為 c ，橫軸與格線 B C 重合.過點 c 作 C E⊥ A C ，垂足為 C. 由 A（2，3） 知直線 O A 的解析式為y=x.

又 O E⊥ O A ，則直線 O E 的解析式為 由 A（2，3），B（-2，0） 兩點坐標，易求出 A B 解析

式為 由 得 17，則E 又 A（2，3） ，則

故在 RtΔ A E O 中，有

點評：建立平面直角坐標系，確定直線的函數解析式，根據函數與方程思想求得兩條直線交點坐標，再運用勾股定理（或兩點間距離公式）及勾股數倍數求出 A E 的長.

法六：面積法.

解：由三角形的正弦面積公式，得 Δ A B C 面積為

又ABC的面積

所以

解得sin

由 ，結合角 A 為銳角，可得

點評：三角形的正弦面積公式是銳角三角函數的重要知識，運用“算”的方法進行求解，別具匠 ∴ ，富有創新意識.

法七：運用初高中的銜接內容.

解：由余弦定理 ，得 所以cos

點評：余弦定理是勾股定理的一般形式，也是初高中銜接內容，是更高一級學習的重要知識.

以方網格為背景求銳角三角函數值問題，源于學習與生活，圖形簡單，設計精巧，旨在考查學生的理性思維.要求學生觀察、揣摩平時的學習工具，提取特殊圖形中隱含的關鍵信息，運用數形結合、實踐操作，觀察與分析，構圖與分解將數學知識轉化為數學素養，將自己的解題經驗內化為解題技能，實現用數學語言及自己獨有的方式表達現實世界，促進學生數學核心素養的養成.