回歸教材·遵循課標·導向教學

1試題解讀

1.1試題呈現(xiàn)

（2023-2024 學年第二學期

八年級聯(lián)合體期中試卷第26題）

如圖1，正方形ABCD和正方形

A N E M，E 是 B C 上的動點.（1）連接BN， D M ， ① 求證：

B N=D M ② 求證： .（2）連接 A E ，若 B N=B E ，則

圖1∠ B A E=

1.2試題解答

（1） ① 如圖2，正方形ABCD

和正方形ANEM中， A B=A D ，

費∠ N A B=∠ M A D ： B N=D M ② 如圖3，作 N F⊥ B C ，垂足

為 F ，作 N G⊥ A B ，垂足為 G ，則

費：四邊形FBGN為矩形.： ·： ∠ G A N=∠ F E N ：正方形ANEM中， A N=E N ： G N=F N ：四邊形FBGN為正方形.：

由△ 知 ∠ A B N=∠ A D M ，：

（2）22.5°.

1.3試題效能

本次期中測試的內(nèi)容是蘇科版八年級下冊第8章\"認識概率”和第9章“中心對稱圖形—平行四邊形”第（1）題中的第 ① 問難度系數(shù)為0.7，區(qū)分度為0.82；第 ② 問難度系數(shù)為0.04，區(qū)分度為0.14；第（2）題難度系數(shù)為0.2，區(qū)分度為0.45.本題的難度系數(shù)為0.31，區(qū)分度為0.44，命題組認為達到了預期目標.

2命題歷程

本題的命制經(jīng)歷了確定考查目標、尋找命題素材、反復修改考題三個階段.

2.1確定考查目標

突出核心知識：主要考查特殊幾何圖形的性質(zhì)和判定等核心知識.

考查關鍵能力：著重考查學生的分析問題與解決問題的關鍵能力.

指向核心素養(yǎng)：本題突出對幾何直觀、推理能力等核心素養(yǎng)的考查.經(jīng)歷用幾何直觀和邏輯推理分析問題、解決問題的過程，培養(yǎng)應用意識和創(chuàng)新意識，提升幾何直觀、空間觀念、抽象能力、推理能力等.

為此，命題組制訂了多維度的命題雙向細目表（見表1），進一步明晰試題命制的內(nèi)容指向和考查指向.

2.2尋找命題素材

（1）素材來源

基于多維度的命題雙向細目表，廣泛研讀教材，尋找命題素材.發(fā)現(xiàn)人教版教材八年級下冊第十八章“平行四邊形”的章復習題第14題（第69頁）：“如圖

4，四邊形ABCD是正方形，點 E 是 B C 的中點， ，且 E F 交正方形外角的平分線 C F 于點F 求證： A E=E F .（提示：取線段 的中點 G ，連接EG.）”

（2）素材挖掘

按照題目中的提示，有 Δ A G E？Δ E C F ，問題得證.但從命題者的角度看，該題可以有若干改編或挖掘.

改編1將原題中的條件“點 E 是BC的中點”去掉，題目是否成立？

分析：如圖5，點 E 是 B C 上的動點，在 A B 上取點 G ，使得A G=E C ，則仍然有 Δ A G E？ Δ E C F ，問題得證.由此發(fā)現(xiàn)，題目的條件“點 E 是 B C 的中點”

是多余的.若點 E 在 B C 的延長線上，結論仍然成立.

改編2將條件“ E F 交正方形外角的平分線 C F 于點 F ”和結論“ A E=E F ”互換后得到：“如圖5，四邊形 A B C D 是正方形，點 E 在 B C 上， ，且A E=E F ，求證： ”

分析1：如圖5，繼續(xù)沿用圖中的輔助線，在 A B 上取點 G ，使得 A G=E C ，且 Δ A G E？ Δ E C F（SAS） ，得 ，則 ∠ D C F= ，問題得證.

分析2：如圖6，過 F 作 F P⊥ B C ，垂足為 P ，有Δ A B E？Δ E P F ，則 F P=B E，E P=A B=B C ，即E C+C P=E C+B E ，得 F P=B E=C P ，故 ∠ P C F=

，問題得證.

由此可以得到：“已知正方形A B C D ， E 為 B C 上的動點， ，且 A E=E F ，則點F 的運動路徑是一條直線，該直線經(jīng)過點 c 且與 B C 形成 角.”

從命題的角度出發(fā)，我們應該進一步思考，尋找命題素材.如，在圖5中，若連接 A F ，則 A F 的中點 M 的運動路徑是否為一條直線？該直線是否與 B C 形成 角？借助于幾何畫板軟件發(fā)現(xiàn)，點 M 在對角線B D 上.

2.3反復修改考題

（1）一稿

題目如圖7所示，已知正方形 A B C D，E 是 B C 上的動點， ，且 A E=E F，M 是A F 的中點，連接 D M ，求證：

診斷分析： ① 解法預估.如圖8，過點 M 作正方形各邊的垂線G H 和 P Q ，有 。能得到正方形BQMG和正方形P M H D ，從而有 ，問題得證.命題組認為本題圖形有點復雜，信息干擾較多，學生難以找到有效的方法，希望繼續(xù)改進.

② 難度預估.感覺上，本題難度有些大，想到作形如圖8的輔助線（或其他輔助線）是解題的突破口，如果想不到，本題幾乎不得分.這樣的試題對中等（或以下）水平的學生不公平.

（2）二稿

題目如圖9，已知正方形 A B C D，E 是 B C 上的動點， ，且 A M=M E ，連接 D M ，求證：

診斷分析： ① 解法預估.為了圖形的簡潔，在圖8的基礎上將線段MF和 E F 刪掉，得到圖9，可以沿用圖8的解答方法，學生也有可能連接BM證明 B，M，D 三點共線.命題組認為，雖然二稿的圖形相對一稿簡明，但學生解答時，輔助線的構造可能有些困難.

② 難度預估.命題組認為如果將本題作為壓軸題，難度似乎不夠，分量似乎不足，而且壓軸題一般采用一題多問的呈現(xiàn)形式.同時也估計到，中等（或以下）學生不易得分.于是考慮，在本題的結論之前增設容易的問題來降低題目的難度，盡量使整個題目表述簡潔，梯度合理，設問巧妙，立意高遠.

（3）三稿

題目如圖10，已知正方形ABCD和正方形 A N E M，E 是 B C 上的動點.（1）連接 B N，D M 求證：B N=D M；（2） 求證：

診斷分析： ① 解法預估.若把圖9中的等腰直角三角形AME補成正方形ANEM，去掉線段 A E ，圖形更為簡潔.為了使圖形更具有動感和美感，線段 B N，D M 也不再連接.對于“ ，只需證明 Δ A N B？Δ A M D 即可.

② 難度預估.第（1）問，易證 ，此問“送分”到位.同時，第（1）問的解答對第（2）問的解答有一定的暗示或啟發(fā)，難度上也有所降低，試題對多數(shù)學生而言相對公平.

（4）終稿

見本文的“試題呈現(xiàn)”

考慮到本題的分值較大，題目能否再增加一問，進而更有“壓軸”的意味.于是，想到將動點 E 在某個位置“停”下來，通過“點的確定”發(fā)現(xiàn)“線段或角度的確定”.借助于幾何畫板軟件，拖動點 E ，發(fā)現(xiàn)當 A E 平分 ∠ B A C 時，有 B N=B E 逆向思考，連接 A E ，若B N=B E ，直接寫出 ∠ B A E 的度數(shù).

① 解法預估.對于第（2）問，如圖10，學生若證出第（1）問中的第 ② 小問，則有 當 B N= B E 時， ，進而有 ∠ N A B= ，連接 A E ，因為 ，所以 ，

如圖11，對于 的證明，命題組從“關聯(lián)角平線”和“關聯(lián)等腰直角三角形”兩個角度給出了以下的思考路徑，具體解題分析從略.

② 難度預估.命題組預估第（1）題中的第 ① 問的難度系數(shù)為0.75左右，第 ② 問的難度系數(shù)為0.2左右，第（2）的難度系數(shù)為0.3左右，本題的難度系數(shù)為0.4左右.測試顯示，預估數(shù)據(jù)高于實測數(shù)據(jù)，特別是對于“求證： ，學生的思路受阻，得分率遠低于預估，說明教與學都存在一些問題，值得我們反思.

3命制啟示

無論是學業(yè)水平考試還是平時的調(diào)研測試，都必須強調(diào)關鍵能力的考查，引導教學回歸教材，遵循課標，導向教學，穩(wěn)步推進考試內(nèi)容改革，充分發(fā)揮考試育人功能和積極導向作用.

（1）命題要回歸教材

命題回歸，不是在測試時就簡單“關聯(lián)”一下教材，而是從學科本質(zhì)上回歸教材.更重要的是體現(xiàn)在操作上，要深人挖掘教材的考評價值、考評和教材的直接聯(lián)系，如教材的典型實例對形成學科思想有幫助的相關內(nèi)容，如小結、引言等體現(xiàn)新課程理念和特點的內(nèi)容.進一步，立足基礎知識，根據(jù)測試的考核要求，從知識形成過程、學科的思想方法、美學價值、教育功能以及在解決實際問題時的獨特作用等方面，深入挖掘教材的考評價值.

數(shù)學教材為學生的數(shù)學學習活動提供了學習主題、知識結構和基本線索，是實現(xiàn)數(shù)學課程目標與實施數(shù)學教學的重要資源.教學過程中，我們要深刻理解教材，深度研究習題.對典型的習題要關注數(shù)學的本質(zhì)，關注通性通法，合理改編，形成源于教材高于教材的高質(zhì)量試題[1]

（2）命題要遵循課標

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在“學業(yè)質(zhì)量”部分有這樣具體的描述：“知道運動過程中的不變量、圖形運動的變化特征，能運用幾何圖形的基本性質(zhì)進行推理證明，初步掌握幾何證明方法，進一步增強幾何直觀、空間觀念和推理能力，”1在研究過程中，我們發(fā)現(xiàn)：“已知正方形ABCD，E是BC上的動點，∠AEF=90°，且AE=EF，則點F的運動路徑是一條直線，該直線經(jīng)過點C且與BC形成45°角.”這里具體體現(xiàn)了“知道運動過程中的不變量、圖形運動的變化特征”，由此，命題者才逐步探討命制出最終的試題.這樣的試題，能夠讓“學生感悟數(shù)學的價值，能夠從解決問題的過程中獲得數(shù)學活動經(jīng)驗，產(chǎn)生對數(shù)學的好奇心和求知欲，增強學習數(shù)學的興趣，建立學習數(shù)學的自信心”[1].

筆者認為，只有命題者在命制試題時不斷創(chuàng)新，才能促使教師在教學中深度思考，在解決問題的過程中，培養(yǎng)學生學會獨立思考、合作探究，形成批判、克服困難、勇于擔當?shù)目茖W精神和一定的創(chuàng)新意識.

（3）命題要導向教學

教師在開展數(shù)學教學時，所確定的教學目標必須關注學生在數(shù)學學習中的“三會”“四基”“四能”和正確的情感態(tài)度價值觀，所設計的內(nèi)容和實施的活動要能促進學生核心素養(yǎng)發(fā)展，所開展的評價要能更好地激勵學生的數(shù)學學習，

顯然，核心素養(yǎng)貫穿教學實踐的全過程，這是新課標背景下教師教學改進的顯著特點.目前的課堂教學存在“核心素養(yǎng)”與“教學實踐”在一定程度上的隔離現(xiàn)象，因此應該將促進學生核心素養(yǎng)發(fā)展真正作為教師教學改進的目標與方向.

雖然，課程標準已經(jīng)指明了教學改進的的目標與方向，但課程標準不會給出每節(jié)課的教學設計范例，教師之間的理念和實踐仍然存在著較大差距.在測評后，教師發(fā)現(xiàn)自己所教班級的學業(yè)質(zhì)量出現(xiàn)較大落差時，會抱怨命題者命制出一些“出乎意料”的試題.

于是，命題要導向教學的價值就在這里，所有的測評都指向教學，是為了促進教師的教和學生的學，教學與測評是相互促進的，教學是測評的根本與歸旨，測評是教學的導向與手段，二者同等重要，任何一方的偏廢都不利于教師和學生的發(fā)展.

筆者認為，命題導向教學的真正落腳點是課堂教學.試問，我們的課堂教學有沒有從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題？有沒有綜合運用數(shù)學學科（或其他學科）的知識從不同的角度尋求分析問題和解決問題的方法？有沒有回顧解決問題的思考過程，反思解決的方法和結論，形成批判性思維和創(chuàng)新意識？如果能夠回答這些問題，那么命題就真正促進了我們的教學，

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部，義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.