中考試題數(shù)學(xué)思想剖析及教學(xué)啟示

1數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要理念，它強(qiáng)調(diào)通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化和結(jié)合來解決數(shù)學(xué)問題，主要包含兩個方面的含義：一方面，通過將抽象的數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題，學(xué)生可以更直觀地理解和解決問題1.例如，將方程或不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題，能夠更直觀地看到解的分布情況.另一方面，通過將幾何問題用代數(shù)方法來解決，學(xué)生能夠更精確地進(jìn)行計算和推理.例如，在幾何證明中，利用坐標(biāo)系和代數(shù)方法進(jìn)行計算和推導(dǎo).

例1如圖1，以原點 o 為圓心、3為半徑的圓與 x 軸分別交于 A，B 兩點（點 B 在點 A 的右邊）， P 是半徑 O B 上一點，過點 P 且垂直于 A B 的直線與？ O 分別交于 C，D 兩點（點 c 在點 D 的上方），直線 A C，D B 交于點 E ，假設(shè) A C：C E=1：2 （1）求點 P 的坐標(biāo)；

（2）求過點 A 和點 E ，且頂點在直線 C D 上的拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

試題分析：（1）如圖2所示，為了求出點 P 的坐標(biāo)，需要借助輔助線來解題，作 E F 垂直于y 軸于點 F ，并延長 D C ，使其交E F 于點 H .結(jié)合試題的信息，可設(shè)點 H 的坐標(biāo)為 （m，n） ，則點P（m，0） ，進(jìn)而可得 P A=m+3

P B=3-m .首先證明 Δ A C P～Δ E C H ，則 ，得出CH= ，EH=2m+6.根據(jù)所學(xué)知識易證 Δ D P B～Δ D H E ，則 可得 ，求出 ，點 P 的坐標(biāo)即可得出.（2）根據(jù)試題提供的相關(guān)信息和所學(xué)知識，設(shè)拋物線的解析式為 y=a（x+3）（x-5）（a≠0） ，同時需要求出點 E 的坐標(biāo)，將其代入即可解決問題.

中考數(shù)學(xué)試題中數(shù)形結(jié)合思想的考查路徑可以從以下兩個方面進(jìn)行分析：

（I）基本路徑

基本路徑是指通過較為直接的數(shù)形結(jié)合方式考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能.具體包括以下幾個方面：考查學(xué)生對數(shù)形結(jié)合基本概念和原理的理解，如坐標(biāo)系、函數(shù)圖象、幾何圖形的面積和周長等；要求學(xué)生能夠?qū)缀螆D形轉(zhuǎn)換為代數(shù)表達(dá)式，反之亦然，如通過解析幾何方法求解幾何問題；通過設(shè)置簡單的數(shù)形結(jié)合問題，如直線與圓的交點、二次函數(shù)圖象的性質(zhì)等，考查學(xué)生的基本解題能力.這些基本路徑考題通常難度較低，主要目的是評估學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的掌握情況.

（Ⅱ）綜合路徑

綜合路徑是指通過較為復(fù)雜的數(shù)形結(jié)合問題考查學(xué)生的綜合能力，包括分析能力、邏輯推理能力和問題解決能力.具體包括：設(shè)計較為復(fù)雜的綜合應(yīng)用題，如涉及多個幾何圖形或代數(shù)表達(dá)式的綜合問題，要求學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題；考查學(xué)生在處理動態(tài)變化問題時運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的能力，如研究函數(shù)圖象的變化趨勢、求解運(yùn)動軌跡等；設(shè)置一些需要創(chuàng)新思維的問題，如通過數(shù)形結(jié)合思想推導(dǎo)出新的數(shù)學(xué)結(jié)論或解決實際生活中的數(shù)學(xué)問題

2函數(shù)思想

初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)思想是指學(xué)生在學(xué)習(xí)和運(yùn)用函數(shù)的過程中，理解和掌握函數(shù)的基本概念、性質(zhì)以及函數(shù)與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系.

例2某商店今年1月份的銷售額是2萬元，3月份的銷售額是4.5萬元，從1月到3月份，該店銷售額平均每月的增長率是（ ）.

A.20% B.25% C.50% 0.62.5%

試題分析：本題考查和訓(xùn)練學(xué)生的函數(shù)思想，達(dá)到試題育人的命題目的.設(shè)每月增長率為 x ，依試題信息，共涉及3個月的銷售額，且給出了1月份銷售額為2萬元，根據(jù)銷售額平均增長率為 x ，可得3月份銷售額為 萬元，由此得出等量關(guān)系 4.5，解得 需要關(guān)注的是，由于營業(yè)額為增長狀態(tài)，增長率為負(fù)數(shù)不合題意，舍去 -2.5 ，因此得出該店銷售額平均每月的增長率為 50% .

結(jié)合試題來看，函數(shù)思想培養(yǎng)路徑主要為：通過現(xiàn)實生活中的具體情境設(shè)計問題，促使學(xué)生在解決這些問題的過程中自然地運(yùn)用函數(shù)思想.另一方面，中考數(shù)學(xué)試題常涉及函數(shù)圖象的分析和推斷，要求學(xué)生根據(jù)圖象特征判斷函數(shù)的性質(zhì)，如增減性、極值點、零點等.這種類型的題目能夠幫助學(xué)生直觀地理解函數(shù)的幾何意義和變化規(guī)律，通過觀察和分析圖象，提升對函數(shù)圖象與數(shù)學(xué)概念之間聯(lián)系的認(rèn)識和理解能力，在這個過程中學(xué)生的函數(shù)思想得到了鍛煉，

3統(tǒng)計思想

初中數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計思想是指通過數(shù)據(jù)的收集、整理、分析和解釋，幫助學(xué)生理解和解決現(xiàn)實生活中的各種問題.這一思想不僅僅是統(tǒng)計方法和技術(shù)的應(yīng)用，更是一種處理數(shù)據(jù)和信息的思維方式.

例3表1為初三（1）班全部43名同學(xué)某次數(shù)學(xué)測驗成績的統(tǒng)計結(jié)果，則以下說法正確的是（ ）.

A.男生的平均成績大于女生的平均成績B.男生的平均成績小于女生的平均成績C.男生成績的中位數(shù)大于女生成績的中位數(shù)D.男生成績的中位數(shù)小于女生成績的中位數(shù)

試題分析：本題考查學(xué)生是否具備統(tǒng)計思想及能否正確運(yùn)用統(tǒng)計知識解決數(shù)學(xué)問題.在解答本題前，首先要對表格中給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，選項中涉及的是男生和女生的平均成績和中位數(shù)，因而需要根據(jù)公式求出相應(yīng)數(shù)據(jù)，即可選出正確選項.

中考統(tǒng)計思想的培養(yǎng)路徑主要為在真實情境中要求學(xué)生進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，進(jìn)而培養(yǎng)統(tǒng)計意識和能力.試題通常通過設(shè)計與學(xué)生日常生活或社會實際問題相關(guān)的情境，要求學(xué)生對數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、分析和解釋.此外，常見的情境還包括學(xué)校某項活動的參與情況、調(diào)查班級同學(xué)的興趣愛好、或者社區(qū)環(huán)境數(shù)據(jù)等.這類試題不僅考查學(xué)生對統(tǒng)計方法的掌握程度，還培養(yǎng)他們運(yùn)用統(tǒng)計知識解決實際問題的能力，對學(xué)生統(tǒng)計思想的培育具有很大的作用.

4教學(xué)啟示

4.1落實課程標(biāo)準(zhǔn)要求，重視數(shù)學(xué)思想的教授

首先，教師需要根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)明確中考數(shù)學(xué)中涉及的核心數(shù)學(xué)思想.每一堂課或每一個單元的教學(xué)目標(biāo)都應(yīng)清晰地包含這些思想的傳遞，融人到教學(xué)實踐中，教師要有意識地將這些數(shù)學(xué)思想融人到具體的知識點和例題中.

4.2重視試題的載體作用，設(shè)計多類型試題

設(shè)計試題時，應(yīng)確保試題類型多樣化，并覆蓋數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、歸納與類比等核心數(shù)學(xué)思想.

注重試題的啟發(fā)性和開放性，有效發(fā)揮試題的載體作用，幫助學(xué)生在中考數(shù)學(xué)中更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的綜合素養(yǎng).

4.3復(fù)習(xí)課融入數(shù)學(xué)思想試題的解題策略和步驟

復(fù)習(xí)課應(yīng)注重構(gòu)建學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)，將不同數(shù)學(xué)思想與所學(xué)知識點結(jié)合.

在復(fù)習(xí)過程中，教師可以通過分步示范和逐步引導(dǎo)的方式滲透解題策略.

參考文獻(xiàn)：

[1]龍偉芳，葉緒國.夯實基礎(chǔ)，堅持思想方法滲透與能力培養(yǎng)并重—由2017年貴州黔東南州中考數(shù)學(xué)第24題引發(fā)的思考[J].西部素質(zhì)教育，2018，4（18）：221-222.