初中數(shù)學(xué)中的相似模型及其在素養(yǎng)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用

我國(guó)教育部2022年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）要求，通過(guò)數(shù)學(xué)教育，促使學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界；能夠在現(xiàn)實(shí)生活與其他學(xué)科中構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型，表達(dá)和解決問(wèn)題，對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題有清晰的認(rèn)識(shí)，知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的基本途徑；初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程，能夠從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)模型觀念、建立模型意識(shí).

1數(shù)學(xué)模型及其學(xué)習(xí)的意義

數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)字、符號(hào)、方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)式子以及程序、圖形等，對(duì)實(shí)際問(wèn)題的本質(zhì)屬性進(jìn)行抽象概括形成的簡(jiǎn)明而準(zhǔn)確的描述和刻畫(huà)，即表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律.利用數(shù)學(xué)模型解決較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以簡(jiǎn)化假設(shè)和分析、抽象的提煉過(guò)程，迅速而簡(jiǎn)捷地將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)和形式.

2初中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的相似模型

初中數(shù)學(xué)中的相似模型，多是一些線條按照比較固定的模式組合而成的形式.常見(jiàn)的有如下幾種：

相似模型1：“平行線型”，如圖1.

相似模型2：“相交線型”，如圖2.

① 已知 ∠ A=∠ A ， ② 已知 ∠ D=∠ B ，∠ A D E=∠ B， ∠ A E D=∠ C E B， 結(jié)論：ADEABC. 結(jié)論：ADECBE.

③ 已知 ∠ A=∠ C ∠ B=∠ B， 結(jié)論： Δ A B D～Δ C B E 相似模型3：“子母型”，如圖3.

① “母\"\"子”均為 ② “母\"“子”均為銳角三角形， 鈍角三角形，∠ A=∠ D B C. ∠ A C B=∠ A B D 結(jié)論： Δ A B CΔ B D C .結(jié)論： Δ A B C～Δ A D B

③ “母”子”均為

直角三角形，

結(jié)論： Δ A B CΔ D B A ·

相似模型4：“旋轉(zhuǎn)型”，如圖4.

3數(shù)學(xué)模型在素質(zhì)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用

3.1利用“相交線模型”證與正方形相關(guān)的等積式成立

案例1如圖5，在正方形A B C D 中， ， D G 與D H 分別交 A C 于點(diǎn) E，F(xiàn) ，求證：

證明： A C 是正方形 A B C D 的對(duì)角線，： 又 ： ∠ D A F=∠ E D F .又 ∠ A F D=∠ D F E ，.Δ A D FΔ D E F 所以

點(diǎn)撥：正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角；在相交線中找到有兩對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形，借助“相交線模型”易證 Δ A D FΔ D E F ，從而易證等積式成立，

3.2利用“平行線模型”解決與平行四邊形相關(guān)的線段問(wèn)題

案例2如圖6，在平行四邊ABCD中，連接 D B ，延長(zhǎng)B C 至點(diǎn) G ，使 C G=B C ，連接A G ，分別交 D B，D C 于點(diǎn) E，F(xiàn) ·（1）求證： D F=F C （2）若 D C=8，A E=6 ，求 E F 的長(zhǎng).

（1）證明：因?yàn)樗倪呅?A B C D 是平行四邊形，所以A B//D C

所以△GFCS△GAB，所以 ·

因?yàn)?C G=B C ，所以 所以 D F=F C .

（2）解析：因?yàn)樗倪呅?A B C D 是平行四邊形，所以A B//D C ，所以 ·

因?yàn)?D C=8，A E=6 ，所以 4.所以 所以 E F 的長(zhǎng)為3.

點(diǎn)撥：正確利用“平行線模型”是解證題的關(guān)鍵.

3.3利用“子母型模型”解決與圓相關(guān)的線段問(wèn)題

案例3如圖7， Δ A B C 內(nèi)接于 ？ O ∠ A C B= ，過(guò)點(diǎn) A 作 A B 的垂線，交 ⊙ O 于點(diǎn) E ，并且與 B C 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) D ，作 A G⊥ B C 于點(diǎn) F ，交 ？ O 于點(diǎn) G （1）求證 ：A E=A B ，（2）若 ？ O 的半徑 r=6，A D=12 ，求線段 A G 的長(zhǎng).

（1）證明：如圖8，連接 B E ，因?yàn)?A E⊥ A B ，則 .

因?yàn)? ，所以 ，所以 ，所以 ∠ A E B=∠ A B E ，所以A E=A B

（2）解析：在 RtΔ A B E 中，由 r=6 ，可得 B E= 2r=12 .由勾股定理，得 .由（1）知A E=A B ，則 ，所以 .所以 B D=

在 RtΔ A B D 和 RtΔ F A B 中，因?yàn)?∠ B A D= ∠ B=∠ B ，符合“母子型模型”特征，則 AB，所以AF= 于是

連接 B G ，在 RtΔ B F G 中，因?yàn)? ， ，所以 ，所以 .

所以 所以線段 A G 的長(zhǎng)為

點(diǎn)撥：作直徑構(gòu)造 的圓周角，是證明 A E=A B 的基礎(chǔ)；相等的圓周角所對(duì)的弦相等是證明 A E=A B 的依據(jù)；作弦 B G ，是構(gòu)造等腰直角三角形BFG從而求 F G 長(zhǎng)度的捷徑.

最后，我們應(yīng)該明白，數(shù)學(xué)模型的建立，依賴于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，依賴于建模者對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練掌握，依賴于建模者對(duì)問(wèn)題情境的透徹理解、合理分析、準(zhǔn)確概括及運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的科學(xué)表達(dá)，或者通過(guò)對(duì)問(wèn)題解決的程序、結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)與刻畫(huà)，并且經(jīng)得起演算和檢驗(yàn).這項(xiàng)工作使熱受數(shù)學(xué)教育的我們，需要為之付出辛勤汗水，愿本文中分享的觀點(diǎn)和方法能為您的數(shù)學(xué)模型教育助一臂之力.