三角形中位線定理及其應用舉隅

2025-06-07 00:00:00蘇林艷

中學數學·初中版 2025年4期

將中位線定理與三角形的角平分線、中線或垂線的定義、性質相結合，或者與等邊三角形、平行四邊形、矩形的性質等相結合，既可確定兩條直線的位置關系，如平行關系，也可在三角形、四邊形中證明兩條線段的數量關系，如倍分關系，或計算線段的最值，還可與相似三角形結合計算面積的比值，等等.中位線定理的學習和運用有利于學生獲得“四基”（基礎知識、基本技能、基本生活經驗和基本思想方法）和發展“四能”（運用數學知識與方法發現、提出、分析和解決問題的能力），從而豐富和提升數學核心素養.

教育部2022年頒布的《義務教育數學課程標準2022年版》（以下簡稱“新課標”）明確要求：“探索并證明三角形的中位線定理.\"1]足見學習中位線定理的必要性和重要意義.現擬與大家分享對此定理的探索及應用舉例.

1三角形的中位線及中位線定理的意義

三角形中位線的定義：連接三角形兩邊中點的線段叫作這個三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.

2三角形中位線定理的證明

已知：如圖1，在△ABC中，點分別是邊 A B，A C 的中點.求證：DE// B C ，且 D E= .

證明：如圖2，延長 D E ，使E F=D E .因為 E 是 A C 的中點，所以 A E=C E 在 Δ A D E 和 Δ C F E 中，，∠ A E D=∠ C E F ，所以可得，

，所以 A D=C F ∠ A D F=∠ F 因為 D 是 A B 的中點，所以 A D=B D ，所以 B D=C F 由 ∠ A D F=∠ F ，知 A B//C F ，即 B D//C F 所以四邊形DBCF是平行四邊形，從而 D F=

B C，D F//B C. 又因為，所以由 D F//B C ，知 D E//B C ·所以

3構造三角形中位線解決幾何問題舉例

3.1添加“第三邊”構造中位線，確定最大值

案例1如圖3，在四邊形ABCD中， 4，點 E，F 分別是邊 B C 和 D C 上的動點（含端點，但點 F 不與端點 c 重合）.若點 G，H 分別是線段 A F 和E F 的中點，則線段 G H 的最大值為

分析：如圖4，由點 G，H 分別是線段 A F 和 E F 的中點，容易想到連接 A E ，即 Δ A E F 的第三邊，則 G H 是 Δ A E F 的中位線.

解析：如圖4所示，連接 A E ，在Δ A E F 中，由點 G，H 分別是線段

A F 和 E E 的中點，知 G H 是 Δ A E F 的中位線，所以G H//A E ，因為 E，F 分別是邊BC和D C 邊上的動點（含端點，但點 F 不與端點 c 重合），當點 E 與點 c 重合時 A E 最長，此時 G H 最長.

在 RtΔ A B E 中， A B=3，B E=B C=4 ，由勾股定理易得，于是知最長 G H 的最大值為 1 ，

點撥：重視“遇到中點或中線，首選添加‘第三邊’，從而構造中位線”，為確定最值創造條件.

3.2利用圖形性質發掘中位線，證相等關系

案例2如圖 5，D 是 ∠ A B C 的邊 ∣ A B 的延長線上一點， B E ，BF分別平分 ∠ A B C 和 ∠ C B D ， C E⊥

B E，C F⊥ B F ，連接 E F 交 B C 于點 O ，交 A C 于點 D .求證：A B=2D O .

分析：結合題意容易知道∠ C F B ， ∠ C E B ， ∠ E B F 都是直角，從而可證四邊形EBFC是矩形；由矩形對角線的性質可知 O 是 B C 的中點，可證 E F 平行 A B ，于是可證 D 為 A C 的中點，因此可知 O D 是 Δ A B C 的中位線，從而證明 A B=2D O

證明：因為 D 是 ∠ A B C 的邊 A B 的延長線上一點，所以 .因為 B E，B F 分別平分 ∠ A B C 和 ∠ C B D ，所以，所以可得 ∠ E B F=∠ E B C+∠ C B F= 因為 C E⊥ B E，C F⊥ B F ，所以

所以，所以四邊形 C E B F 是矩形.因為 C O=B O E O=F O 且 B C= E F ，所以 C O=B O=E O ，所以 ∠ O E B=∠ O B E .又因為 ∠ A B E=∠ O B E ，所以 ∠ O E B=∠ A B E ，所以O E//A B ，則 D 是 A C 的中點，所以 D O 是 Δ A B C 的中位線，則有，即 A B=2D O

點撥：熟悉有三個角是直角的四邊形是矩形和矩形的對角線相等且互相平分，是此題證明的基礎；正確運用“過三角形一邊中點，平行于另一邊的直線平分第三邊”是說明 D 是 A C 的中點進而發現 D O 是Δ A B C 的中位線的關鍵.

3.3延長線段發現中點得到中位線，計算線段長

案例3如圖6所示，在Δ A C B 中， C E，C D 分別是∠ A C B 的平分線和 A B 邊上的中線， A F⊥ C E 于點 F ，A C=7 ， B C=14 ，求 F D 的長.

分析：如圖7，因為 C E 是 ∠ A C B 的平分線，所以∠ A C F 與 ∠ G C F 相等.設A F 的延長線與 B C 交于點G ，因為 A F⊥ C E 于點 F ，則∠ A F C 等于 ∠ G F C .結合 C F 是公共邊，易證，從而可知， F 是 A G 的中點，于是知 D F 是 Δ A B G 的中位線，從而可知F D 的長等于 B G 的一半.